如果三个点$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$在同一条直线上，证明\( \frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0 \).
已知
点$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$在同一条直线上。
要求
我们需要证明
\( \frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0 \).
解答
设$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$为$\triangle ABC$的顶点。
我们知道，
如果点$A, B$和$C$共线，则$\triangle ABC$的面积为零。
顶点为$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$的三角形的面积由以下公式给出：
三角形面积$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此，
三角形\( ABC\)的面积\(=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})] \)
\( 0=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})] \)
\( x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})=0 \)
除以\( x_{1} x_{2} x_{3} \)，得到
\( \frac{x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}+\frac{x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}+\frac{x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}=0 \)
\( \frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0 \)
证毕。
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