点\( A\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)和\( \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \)是\( \Delta \mathrm{ABC} \)的顶点
求在\( AD \)上使\( AP: PD=2: 1 \)的点\( P \)的坐标。
已知
点\( A\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)和\( \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \)是\( \Delta \mathrm{ABC} \)的顶点
从\( \mathrm{A} \)出发的中线在\( \mathrm{BC} \)上交于\( \mathrm{D} \)。
要求
我们需要找到在\( AD \)上使\( AP: PD=2: 1 \)的点\( P \)的坐标。
解答
我们知道，
中线将线段分成两等份
$D$ 是 $BC$ 的中点。
这意味着，
$BC$ 中点的坐标为$(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})$
$D=(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})$.
设点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$。
点 $P(x, y)$ 将连接 $A(x_{1}, y_{1})$ 和 $D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})$ 的线段分成 $2: 1$ 的比例。
使用内分点公式，我们得到：
$(x,y)=(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n})$
$P$ 的坐标
为 $P(x, y)=[\frac{2(\frac{x_{2}+x_{3}}{2})+1(x_{1})}{2+1}, \frac{2(\frac{y_{2}+y_{3}}{2})+1 (y_{1})}{2+1}]$
$=(\frac{x_{2}+x_{3}+x_{1}}{3}, \frac{y_{2}+y_{3}+y_{1}}{2})$
因此，
点 $P$ 的所需坐标为 $(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})$.
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