点$A\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$和$\mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right)$是$\Delta \mathrm{ABC}$的顶点
求在$AD$上使$AP: PD=2: 1$的点$P$的坐标。

已知

点$A\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$和$\mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right)$是$\Delta \mathrm{ABC}$的顶点
从$\mathrm{A}$出发的中线在$\mathrm{BC}$上交于$\mathrm{D}$。

要求

我们需要找到在$AD$上使$AP: PD=2: 1$的点$P$的坐标。

解答

我们知道，

中线将线段分成两等份

$D$ 是 $BC$ 的中点。

这意味着，

$BC$ 中点的坐标为$(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})$

$D=(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})$.

设点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$。

点 $P(x, y)$ 将连接 $A(x_{1}, y_{1})$ 和 $D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})$ 的线段分成 $2: 1$ 的比例。

使用内分点公式，我们得到：

$(x,y)=(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n})$

$P$ 的坐标

 为 $P(x, y)=[\frac{2(\frac{x_{2}+x_{3}}{2})+1(x_{1})}{2+1}, \frac{2(\frac{y_{2}+y_{3}}{2})+1 (y_{1})}{2+1}]$

$=(\frac{x_{2}+x_{3}+x_{1}}{3}, \frac{y_{2}+y_{3}+y_{1}}{2})$

因此，

点 $P$ 的所需坐标为 $(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})$. 

教程点

更新于: 2022年10月10日

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