已知多项式 $f(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20$ 的一个零点是 -2，求该多项式的所有零点。

已知

 $f(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20$，且其中一个零点是 -2。

求解

我们需要求出 $f(x)$ 的所有零点。

解法

如果 $a$ 是 $f(x)$ 的一个零点，那么 $(x-a)$ 是 $f(x)$ 的一个因子。

因此，

$x - (-2) = x + 2$ 是 $f(x)$ 的一个因子。

应用除法算法，

被除数 $f(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20$

除数 $= x + 2$

$x+2$)$x^3+13x^2+32x+20$($x^2+11x+10$

            $x^3+2x^2$

           -----------------------------

                      $11x^2+32x+20$

                      $11x^2+22x$

                     -----------------------

                                    $10x+20$
                                    $10x+20$

                                  --------------

                                          $0$
 

因此，

商 $=x^2+11x+10$

$f(x)=(x+2)(x^2+11x+10)$

为了得到其他零点，令 $x^2+11x+10=0$。

$x^2+x+10x+10=0$

$x(x+1)+10(x+1)=0$

$(x+1)(x+10)=0$

$x+1=0$ 和 $x+10=0$

$x=-1$ 和 $x=-10$

因此，已知多项式 $f(x)$ 的所有零点为 -2，-10 和 -1。

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更新于：2022年10月10日

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