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法律研究证明恒等式：$\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=2\sec\theta$。
已知： $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=2\sec\theta$。
要求：证明 $左边=右边$。
解答：
$左边=\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}$
$=\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}}+\sqrt{\frac{(1-\sin\theta)(1-\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}}$
$=\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}+\sqrt{\frac{(1-\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}$
$=\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}}+\sqrt{\frac{(1-\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}}$
$=\sqrt{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2}+\sqrt{(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta})^2}$
$=(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})+(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta})$
$=\frac{1+\sin\theta+1-\sin\theta}{\cos\theta}$
$=\frac{2}{\cos\theta}$
$=2\sec\theta$
$=右边$
因此，已证明恒等式 $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=2\sec\theta$。
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