证明恒等式：$\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=2\sec\theta$。

已知： $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=2\sec\theta$。

要求：证明 $左边=右边$。

解答：

$左边=\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}$

$=\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}}+\sqrt{\frac{(1-\sin\theta)(1-\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}}$

$=\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}+\sqrt{\frac{(1-\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}$

$=\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}}+\sqrt{\frac{(1-\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}}$

$=\sqrt{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2}+\sqrt{(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta})^2}$

$=(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})+(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta})$

$=\frac{1+\sin\theta+1-\sin\theta}{\cos\theta}$

$=\frac{2}{\cos\theta}$

$=2\sec\theta$

$=右边$

因此，已证明恒等式 $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=2\sec\theta$。

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更新于： 2022年10月10日

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