点 A 以比值 k:1 将点 P(-5, 1) 和点 Q(3, 5) 所连接的直线分成了两部分。求出两个 k 值，使得三角形 ABC 的面积（其中 B 为点(1, 5)，C 为点(7, -2)）等于 2 个单位。

题目信息

点 A 以比值 k:1 将点 P(-5, 1) 和点 Q(3, 5) 所连接的直线分成了两部分。

三角形 ABC 的面积（其中 B 为点(1, 5)，C 为点(7, -2)）等于 2 个单位。

求解步骤

我们必须求出 k 的两个值。

解法

令坐标为 (x, y) 的点 A 以比值 k:1 将点 P(-5, 1) 和点 Q(3, 5) 所连接的直线分成了两部分。

则 A 点的坐标为 $\left(\frac{k \times 3+1 \times(-5)}{k+1}, \frac{k(5)+1(1)}{k+1}\right)$

$=\left(\frac{3 k-5}{k+1}, \frac{5 k+1}{k+1}\right)$

$A(\frac{3 k-5}{k+1}, \frac{5 k+1}{k+1}), B(1, 5)$ 和 $C(7, -2)$ 是三角形 ABC 的顶点。

我们知道，

顶点为 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面积由以下公式给出，

三角形面积 = \frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]

因此，

三角形$ABC$的面积 = 2 平方单位

$\Rightarrow 2=\frac{1}{2}\left[\frac{3 k-5}{k+1}(5+2)+1\left(-2-\frac{5 k+1}{k+1}\right)+7\left(\frac{5 k+1}{k+1}-5\right)\right.$

$\Rightarrow 2=\frac{1}{2}[\frac{3 k-5}{k+1} \times 7-2-\frac{5 k+1}{k+1}+7(\frac{5 k+1}{(k+1)})-35]$

$\Rightarrow 4=\left[\frac{21 k-35}{k+1}-\frac{5 k+1}{k+1}+\frac{35 k+7}{k+1}-37\right]$

$\Rightarrow 4=\left[\frac{21 k-35-5 k+1+35 k+7-37 k-37}{k+1}\right]$

$\Rightarrow\left|\frac{14 k-66}{k+1}\right|=\pm 4$

这意味着，

$\frac{14 k-66}{k+1}=4$

$\Rightarrow 14 k-66=4 k+4$

$\Rightarrow 14 k-4 k=66+4$

$\Rightarrow 10 k=70$

$\Rightarrow k=\frac{70}{10}=7$

并且，

$\frac{14 k-66}{k+1}=-4$

$\Rightarrow 14 k-66=-4 k-4$

$\Rightarrow 14 k+4 k=-4+66$

$\Rightarrow 18 k=62$

$\Rightarrow k=\frac{62}{18}$

$=\frac{31}{9}$

k 的两个值为 7 和 $\frac{31}{9}$。

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更新日期： 10-Oct-2022

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