如果点 $P (k – 1, 2)$ 与点 $A (3, k)$ 和 $B (k, 5)$ 等距，求 $k$ 的值。

已知

点 $P (k-1, 2)$ 与点 $A(3, k)$ 和 $B(k, 5)$ 等距。

要求

我们必须找到 $k$ 的值。

解答

$PA$ 与 $PB$ 等距。

这意味着，

$PA=PB$

两边平方，得到，

$PA^2=PB^2$

我们知道，

两点 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 和 $\mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 之间的距离为 $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$。

因此，

$\mathrm{PA}=\sqrt{(k-1-3)^{2}+(2-k)^{2}}$

两边平方，得到，

$\mathrm{PA}^{2}=(k-4)^{2}+(2-k)^{2}$

$=k^2-8k+16+4+k^{2}-4 k$

$=2k^{2}-12k+20$ 

$\mathrm{PB}^{2}=(k-1-k)^{2}+(2-5)^{2}$

$=(-1)^{2}+(-3)^{2}$

$=1+9$

$=10$

$\Rightarrow 2k^{2}-12 k+20=10$

$\Rightarrow 2(k^2-6k+10)=2(5)$

$\Rightarrow k^2-6k+10-5=0$

$k^2-6k+5=0$

$k^2-k-5k+5=0$

$k(k-1)-5(k-1)=0$

$(k-5)(k-1) =0$

$k=5$ 或 $k=1$

$k$ 的值为 $1$ 和 $5$。 

教程点

更新于: 2022年10月10日

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