如果点P(2, 2)与点A(-2, k)和点B(-2k, -3)等距，求k的值。并求AP的长度。

已知

点P(2, 2)与点A(-2, k)和点B(-2k, -3)等距。

要求

我们必须找到k的值和AP的长度。
解答

点P(2, 2)与点A(-2, k)和点B(-2k, -3)等距。

这意味着：
PA = PB

我们知道：

两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)之间的距离是$\sqrt{(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²}$。

因此：

$\sqrt{(2+2)²+(2-k)²}=\sqrt{(2+2k)²+(2+3)²}$

$(2+2)²+(2-k)²=(2+2k)²+(2+3)²$

$4²+(2-k)²=(2+2k)²+5²$

$16+4+k²-4k=4+4k²+8k+25$

$4k²+8k+29-16-4-k²+4k=0$

$3k²+12k+9=0$

$k²+4k+3=0$

$k²+k+3k+3=0$

$k(k+1)+3(k+1)=0$

$(k+1)(k+3)=0$

$k+1=0$ 或 $k+3=0$

$k=-1$ 或 $k=-3$
∴ k=-1, -3
$AP=\sqrt{4²+(2-k)²}$
$=\sqrt{16+(2+1)²}$
$=\sqrt{16+9}$

$=\sqrt{25}$

$=5$

因此，k的值为-1和-3，AP的距离为5。

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更新于：2022年10月10日

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