在 $y$ 轴上找到一个点，使其到点 $( 5,\ - 2)$ 和 $( -3,\ 2)$ 的距离相等。

已知：在 $y$ 轴上存在一个点，它到点 $( 5,\ - 2)$ 和 $( -3,\ 2)$ 的距离相等。

要求：找到这个点。

由于该点在 $y$ 轴上，所以

 $X$ 坐标为零，设该点为 $P( 0,\ y)$

 它到 $A( 5,\ -2)$ 和 $B( - 3,\ 2)$ 的距离相等

我们知道，如果存在两个点 $( x_{1}, y_{1})$ 和 $( x_{2}, y_{2})$，

两点之间的距离$=\sqrt{( x_{2}-x_{1})^{2}+( y_{2}-y_{1})^{2}}$

$PA=\sqrt{( 5-0)^{2}+( -2-y)^{2}}$

$\Rightarrow PA=\sqrt{(5)^{2}+(-(2+y))^{2}}$

$\Rightarrow PA=\sqrt{25+(y+2)^{2}}$

$\Rightarrow PA=\sqrt{25+y^{2}+4+4y}$

$\Rightarrow PA=\sqrt{y^{2}+4y+29}$

$\Rightarrow ( PA)^{2}=y^{2}+4y+29$             ..................$( 1)$

类似地， 

$PB=\sqrt{( -3-0)^{2}+( 2-y)^{2}}$

$\Rightarrow PB=\sqrt{( -3)^{2}+4+y^{2}-4y}$

$\Rightarrow ( PB)^{2}=9+4+y^{2}-4y$

$\Rightarrow ( PB)^{2}=y^{2}-4y+13$            .....................$(2)$

如题所述 $PA=PB$

$\therefore ( PA)^{2}=( PB)^{2}$

$\Rightarrow y^{2}+4y+29=y^{2}-4y+13$ 

$\Rightarrow 4y+4y=13-29$

$\Rightarrow 8y=-16$

$\Rightarrow y=-\frac{16}{8}$

$\Rightarrow y=-2$

因此，该点为 $( 0,\ -2)$