如果点$\mathrm{A}(k+1,2 k), \mathrm{B}(3 k, 2 k+3)$和$\mathrm{C}(5 k-1,5 k)$共线，求$k$的值。

已知

点$A( k+1,\ 2k),\ B( 3k,\ 2k+3)$ 和 $C( 5k+1,\ 5k)$ 共线。

要求

我们必须找到$k$的值。

解答

假设点$A(x_1,\ y_1)=(k+1,\ 2k),\ B(x_2,\ y_2)=(3k,\ 2k+3)$ & $C( x_3,\ y_3)=( 5k+1,\ 5k)$ 构成一个三角形。

现在，顶点为$A(x_1,\ y_1),\ B(x_2,\ y_2)$ 和 $C(x_3,\ y_3)$ 的$Area( \vartriangle ABC)$ 由下式给出

$Area( \vartriangle ABC)=\frac{1}{2}[x_1( y_2-y_3)+x_2( y_3-y_1)+x_3( y_1-y_2)]$

$\therefore Area( \vartriangle ABC)=\frac{1}{2}[(k+1)(2k+3-5k)+3k(5k-2k)+(5k+1)(2k-2k-3)]$

$\therefore Area( \vartriangle ABC)=2k^2-5k+2$

由于$A,\ B,\ C$共线

$\Rightarrow Area( \vartriangle ABC)=0$

$\Rightarrow 2k^2-5k+2=0$

$\Rightarrow ( k-2)( 2k-1)=0$

$\Rightarrow k=2,\ \frac{1}{2}$

$\therefore$ 当$k=2,\ \frac{1}{2}$时，给定点共线。

教程点

更新于：2022年10月10日

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