在下列各题中，求使各点共线的 $k$ 的值。
(i) $(7, -2), (5, 1), (3, k)$
(ii) $(8, 1), (k, -4), (2, -5)$

要做的

我们必须在每个给定的情况下找到 $k$ 的值。

解答

(i) 令 $A (7, -2), B (5, 1)$ 和 $C (3, k)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。

我们知道，

如果点 $A, B$ 和 $C$ 共线，则 $\triangle ABC$ 的面积为零。

顶点为 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面积由下式给出： 

三角形面积 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形 $ABC$ 的面积 $=\frac{1}{2}[7(1-k)+5(k+2)+3(-2-1)]$

$0=\frac{1}{2}[7-7k+5k+10+3(-3)]$

$0(2)=(-2k+17-9)$

$0=-2k+8$

$2k=8$

$k=\frac{8}{2}$

$k=4$

$k$ 的值为 $4$。 

(ii) 令 $A (8, 1), B (k, -4)$ 和 $C (2, -5)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。

我们知道，

如果点 $A, B$ 和 $C$ 共线，则 $\triangle ABC$ 的面积为零。

顶点为 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面积由下式给出： 

三角形面积 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形 $ABC$ 的面积 $=\frac{1}{2}[8(-4+5)+k(-5-1)+2(1+4)]$

$\Rightarrow 0=8-6 k+10$

$\Rightarrow 0=18-6 k$

$\Rightarrow 6k=18$

$\Rightarrow k=\frac{18}{6}$

$\Rightarrow k=3$

$k$ 的值为 $3$。 

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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