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法律研究如果点 $P (x, 3)$ 到点 $A (7, -1)$ 和 $B (6, 8)$ 的距离相等，求 $x$ 的值以及距离 AP。
已知
点 $P (x, 3)$ 到点 $A (7, -1)$ 和 $B (6, 8)$ 的距离相等。
要求
我们需要求出 $x$ 的值和距离 AP。
解答
点 $P (x, 3)$ 到点 $A (7, -1)$ 和 $B (6, 8)$ 的距离相等。
这意味着：
$PA = PB$
我们知道：
两点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 和 \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 之间的距离为 \( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此：
\( \sqrt{(x-7)^{2}+(3+1)^{2}}=\sqrt{(x-6)^{2}+(3-8)^{2}} \)
两边平方，得到：
\( (x-7)^{2}+(4)^{2}=(x-6)^{2}+(-5)^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}-14 x+49+16=x^{2}-12 x+36+25 \)
\( \Rightarrow x^{2}-14 x+65=x^{2}-12 x+61 \)
\( \Rightarrow x^{2}-14 x+12 x-x^{2}=61-65 \)
\( \Rightarrow-2 x=-4 \)
\( \Rightarrow x=\frac{-4}{-2}=2 \)
\( \Rightarrow x=2 \)
\( A P=\sqrt{(2-7)^{2}+(4)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-5)^{2}+(4)^{2}} \)
\( =\sqrt{25+16} \)
\( =\sqrt{41} \)
因此，$x$ 的值为 $2$，距离 $AP$ 为 $\sqrt{41}$。
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