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法律如果点 $Q (0, 1)$ 与 $P (5, -3)$ 和 $R (x, 6)$ 等距，求 $x$ 的值。同时，求 $QR$ 和 $PR$ 的距离。
已知
$Q (0, 1)$ 与 $P (5, -3)$ 和 $R (x, 6)$ 等距。
要求
我们需要找到 $x$ 的值以及 $QR$ 和 $PR$ 的距离。
解答
$Q (0, 1)$ 与 $P (5, -3)$ 和 $R (x,6)$ 等距。
这意味着，
\( \mathrm{PQ}=\mathrm{RQ} \)
我们知道，
两点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 和 \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 之间的距离为 \( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \).
因此，
\( \mathrm{PQ}=\sqrt{(5-0)^{2}+(-3-1)^{2}} \)
\( =\sqrt{5^2+4^2} \)
\( \mathrm{RQ}=\sqrt{(x-0)^{2}+(6-1)^{2}} \)
\( =\sqrt{x^2+5^2} \)
这意味着，
\( \sqrt{(5)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{(x)^{2}+(5)^{2}} \)
两边平方，得到，
\( 25+16=x^{2}+25 \)
\( x^{2}=16 \)
\( x^2=(4)^2 \)
\( x=\pm 4 \)
如果 \( x=4 \)，则，
\( QR=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41} \)
\( P R=\sqrt{(5-4)^{2}+(-3-6)^{2}} \)
\( =\sqrt{(1)^{2}+(-9)^{2}} \)
\( =\sqrt{1+81} \)
\( =\sqrt{82} \)
如果 \( x=-4 \)，则，
\( QR=\sqrt{(-4)^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41} \)
\( P R=\sqrt{(5+4)^{2}+(-3-6)^{2}} \)
\( =\sqrt{(9)^{2}+(-9)^{2}} \)
\( =\sqrt{81+81} \)
\( =\sqrt{81 \times 2} \)
\( =9 \sqrt{2} \)
$QR$ 的距离为 $\sqrt{41}$，$PR$ 的距离为 $\sqrt{82}$ 或 $9\sqrt{2}$。
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