如果点 P(x, y) 到点 A(5, 1) 和点 B(1, 5) 的距离相等，证明 x = y。

已知

点 P(x, y) 到点 A(5, 1) 和点 B(1, 5) 的距离相等。

要求

我们必须证明 x = y。

解答

P(x, y) 到点 A(5, 1) 和点 B(1, 5) 的距离相等。这意味着：

\( PA = PB \)

我们知道：

两点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂) 之间的距离是 \( \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²} \).

因此：

\( PA = \sqrt{(5 - x)² + (1 - y)²} \)
\( PB = \sqrt{(1 - x)² + (5 - y)²} \)

这意味着：
\( \sqrt{(5 - x)² + (1 - y)²} = \sqrt{(1 - x)² + (5 - y)²} \)
两边平方，我们得到：
\( (5 - x)² + (1 - y)² = (1 - x)² + (5 - y)² \)
\( 25 + x² - 10x + 1 + y² - 2y = 1 + x² - 2x + 25 + y² - 10y \)
\( -10x - 2y + 26 = -2x - 10y + 26 \)
\( -10x - 2y = -2x - 10y \)
\( -10x + 2x = -10y + 2y \)

\( -8x = -8y \)
\( x = y \)
证毕。

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更新于：2022年10月10日

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