如果点 $P(x,\ y)$ 到 $A(5,\ 1)$ 和 $B(-1,\ 5)$ 的距离相等，则证明 $3x = 2y$。

已知：点 $P(x,\ y)$ 到 $A(5,\ 1)$ 和 $B(-1,\ 5)$ 的距离相等。

求证：$3x = 2y$。

已知 $PA=PB$

$P( x,\ y) ,\ A( 5,\ 1)$ 和 $B( -1,\ 5)$

我们知道，如果两点为 $(x_{1} ,\ y_{1})$ 和 $(x_{2} ,\ y_{2})$，

两点之间的距离，$=\sqrt{( x_{2} -x_{1})^{2} +( y_{2} -y_{1})^{2}}$

使用上述距离公式，我们有

$PA=\sqrt{( x-5)^{2} +( y-1)^{2}}$

并且 $PB=\sqrt{( x+1)^{2} +( y-5)^{2}}$

如已知 $PA=PB$

$\sqrt{( x-5)^{2} +( y-1)^{2}}=\sqrt{( x+1)^{2} +( y-5)^{2}}$

$\Rightarrow ( x-5)^{2} +( y-1)^{2} =( x+1)^{2} +( y-5)^{2}$

$\Rightarrow x^{2} +25-10x+y^{2} +1-2y=x^{2} +1+2x+y^{2} +25-10y$

$\Rightarrow 26-10x-2y=2x-10y+26$

$\Rightarrow -10x-2x=-10y+2y$

$\Rightarrow -12x=-8y$

$\Rightarrow 3x=2y$