如果点$R(x, y)$在连接点$P(a, b)$和$Q(b, a)$的线段上，则证明$x + y = a + b$。

已知

$R(x, y)$是连接点$P(a, b)$和$Q(b, a)$的线段上的一个点。

要求

我们必须证明$x + y = a + b$。

解答

我们知道，

设$P(a, b)$、$R(x, y)$和$Q(b, a)$是$\triangle PRQ$的顶点。

顶点为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$的三角形的面积由下式给出：

三角形面积$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形PRQ的面积$=\frac{1}{2}[a(y-a)+x(a-b)+b(b-y)]$

$0=\frac{1}{2}[ay-a^2+ax-bx+b^2-by]$

$0(2)=[y(a-b)+x(a-b)-(a^2-b^2)]$

$0=[x(a-b)+y(a-b)-(a-b)(a+b)]$

$(a-b)[x+y-a-b]=0$

这意味着，

$a-b=0$ 或 $x+y-a-b=0$

$a=b$ 或 $x+y=a+b$

证毕。 

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更新于：2022年10月10日

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