点 P 将连接点 $A( 3,\ -5)$ 和 $B( -4,\ 8)$ 的线段分成两部分，使得 $\frac{AP}{PB} =\frac{K}{1}$。如果 P 位于直线 $x+y=0$ 上，则求 K 的值。

已知：连接两点 $A( 3,\ -5)$ 和 $B( -4,\ 8)$ 的线段，线段上一点 P 使得 $\frac{AP}{PB} =\frac{K}{1}$，并且 P 也位于直线 $x+y=0$ 上。

要求：求 k 的值。

解：已知连接两点 $(x_{1} ,\ y_{1})$ 和 $( x_{2} ,\ y_{2} )$ 的线段，如果点 $P( x,\ y)$ 将线段按比例 m:n 分割，则

$P( x,\ y) =\left(\frac{nx_{1} +mx_{2}}{m+n} ,\ \frac{ny_{1} +my_{2}}{m+n}\right)$

这里 $m=k,\ n=1,\ x_{1} =3,\ y_{1} =-5,\ x_{2} =-4\ 和\ y_{2} =8$

使用分割公式，我们有

$P( x,\ y) =\left(\frac{-4k+3}{k+1} ,\ \frac{8k-5}{k+1}\right)$

$\Rightarrow x=\frac{-4k+3}{k+1} \ ,\ y=\frac{8k-5}{k+1}$          ...............$( i)$

$\because$ 点 P 位于直线 $x+y=0$ 上，

将 $( i)$ 中的值代入直线 $x+y=0$，

$\Rightarrow \frac{-4k+3}{k+1} +\frac{8k-5}{k+1} =0$

$\Rightarrow \frac{-4k+3+8k-5}{k+1} =0$

$\Rightarrow 4k-2=0$

$\Rightarrow 4k=2$

$\Rightarrow k=\frac{2}{4}$

$\Rightarrow k= \frac{1}{2}$

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更新于: 2022年10月10日

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