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法律研究连接点 $A (-10, 4)$ 和 $B (-2, 0)$ 的线段的中点 $P$ 位于连接点 $C (-9, -4)$ 和 $D (-4, y)$ 的线段上。求 $P$ 分割 $CD$ 的比值。同时，求 $y$ 的值。
已知
连接点 $A (-10, 4)$ 和 $B (-2, 0)$ 的线段的中点 $P$ 位于连接点 $C (-9, -4)$ 和 $D (-4, y)$ 的线段上。
要求
我们必须找到 $P$ 分割 $CD$ 的比值以及 $y$ 的值。
解答
设 \( P \) 将 \( C(9,-4) \) 和 \( D(-4, y) \) 按 \( m: n \) 的比例分割
P 是连接点 $A (-10, 4)$ 和 $B (-2, 0)$ 的线段的中点
这意味着，
\( P=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) \)
\( =\left(\frac{-10-2}{2}, \frac{4+0}{2}\right) \)
\( =\left(\frac{-12}{2}, \frac{4}{2}\right) \)
\( =(-6,2) \)
P 位于 CD 上。
使用截距公式，如果点 $( x,\ y)$ 将连接点
$( x_1,\ y_1)$ 和 $( x_2,\ y_2)$ 的线段按 $m:n$ 的比例分割，则
$(x,\ y)=( \frac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \frac{my_2+ny_1}{m+n})$
这意味着，
\( (-6,2)=(\frac{m(-4)+n(-9)}{m+n},\frac{3 \times y+2 \times(-4)}{3+2}) \)
比较可得，
\( -6=\frac{m(-4)+n(-9)}{m+n} \)
\( \Rightarrow -6 m-6n=-4 m-9n \)
\( \Rightarrow -6 m+4 m=-9n+6n \)
\( \Rightarrow -2 m=-3 n \)
\( \Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{-3}{-2} \)
\( =\frac{3}{2} \)
\( 2=\frac{3 \times y+2 \times(-4)}{3+2} \)
\( \Rightarrow 2=\frac{3 y-8}{5} \)
\( \Rightarrow 10=3 y-8 \)
\( \Rightarrow 3 y=10+8 \)
\( \Rightarrow 3 y=18 \)
\( \Rightarrow y=\frac{18}{3} \)
\( \Rightarrow y=6 \)
P 分割 CD 的比值为 3:2，y 的值为 6。
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