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法律研究点$P( x,\ 4)$位于连接点$A( -5,\ 8)$和$B( 4,\ -10)$的线段上。求点P分线段AB的比。也求x的值。
已知：连接点$A( -5,\ 8)$和$B( 4,\ -10)$的线段AB，以及点$P( x,\ 4)$
要求：求P分线段AB的比，并求x的值。
解答：假设点$P( x,\ 4)$将线段AB分成m:n。
我们知道，如果有一条连接两点$\ A( x_{1} ,\ y_{1}) \ $和 $B( x_{2} ,\ y_{2})$的线段，并且有一点$\ P( x,\ y)$位于线段上，并且以m:n的比例分线段，那么
我们有 $P( x,\ y) =\left(\frac{nx_{1} +mx_{2}}{m+n} ,\ \frac{ny_{1} +my_{2}}{m+n}\right)$
$\therefore P( x,4) =\left(\frac{4m-5n}{m+n} ,\ \frac{-10m+8n}{m+n}\right)$
$\Rightarrow x=\frac{4m-5n}{m+n} \ \ and\ 4=\frac{-10m+8n}{m+n}$
$\Rightarrow x=\frac{4m-5n}{m+n} \ \ and\ 4=\frac{-10m+8n}{m+n}$
$\Rightarrow 4m+4n=-10m+8n$
$\Rightarrow 4m+10m=8n-4n$
$\Rightarrow 14m=4n$
$\Rightarrow \frac{m}{n} =\frac{4}{14} =\frac{2}{7}$
$m:n=2:7$
并且 $x=\frac{4m-5n}{m+n}$
$x=\frac{4\left(\frac{m}{n}\right) -5\left(\frac{n}{n}\right)}{\frac{m}{n}+\frac{n}{n}}$ $( 用n同时除分子和分母)$
$=\frac{4\left(\frac{2}{7}\right) -5( 1)}{\frac{2}{7} +1}$
$=\frac{\frac{8-35}{7}}{\frac{2+7}{7}}$
$=\frac{-27}{9}$
$=-3$
因此，点P以$2:7$的比例分线段，x的值为$-3$。
更新于： 2022年10月10日
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