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法律研究求直线\( 2 x+3 y-5=0 \)将连接点\( (8,-9) \)和\( (2,1) \)的线段分成几部分的比值。也求出分点坐标。
已知
直线\( 2 x+3 y-5=0 \)将连接点\( (8,-9) \)和\( (2,1) \)的线段分成几部分。
需要做的事情
我们需要找到直线\( 2 x+3 y-5=0 \)将连接点\( (8,-9) \)和\( (2,1) \)的线段分成几部分的比值，以及分点的坐标。
解决方案
设直线 $2 x+3 y-5=0$ 将连接点 $A(8,-9)$ 和 $B(2,1)$ 的线段按 $k: 1$ 的比例分成几部分，分点为 $P$。
利用分点公式，我们得到：
$(x,y)=(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}ny_{1}}{m+n})$
$P$ 的坐标为 $(\frac{k(2)+1(8)}{2+1}, \frac{k(1)+1(-9)}{2+1})$
$=(\frac{2k+8}{k+1}, \frac{k-9}{k+1})$
点 $P$ 在直线 $2 x+3y-5=0$ 上。
这意味着：
$2(\frac{2k+8}{k+1})+3(\frac{k-9}{k+1})-5=0$
$2(2k+8)+3(k-9)-5(k+1)=0$
$4k+16+3k-27-5 k-5=0$
$2k-16=0$
$k=8$
$\Rightarrow k: 1=8: 1$
因此，点 $P$ 将线段分成 $8: 1$ 的比例。
分点 $P=(\frac{2(8)+8}{8+1}, \frac{8-9}{8+1})$
$=(\frac{16+8}{9},\frac{-1}{9})$
$=(\frac{24}{9}, \frac{-1}{9})$
$=(\frac{8}{3}, \frac{-1}{9})$
因此，所需的分点为 $(\frac{8}{3}, \frac{-1}{9})$。
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