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法律研究确定直线$x – y – 2 = 0$ 将连接$(3, -1)$和$(8, 9)$的线段分成怎样的比。
已知
直线 $x – y – 2 = 0$ 将连接 $(3, -1)$ 和 $(8, 9)$ 的线段分割。
要求
我们必须找到分割的比例。
解答
设直线 $x – y – 2 = 0$ 将连接点 $(3, -1), (8, 9)$ 的线段按 $m : n$ 的比例在点 $(x_1,y_1)$ 处分割。
使用截距公式，如果点 $(x, y)$ 按比例 $m:n$ 分割连接点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的线段，则
$(x,\ y)=( \frac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \frac{my_2+ny_1}{m+n})$
\( (x_1,y_1)=(\frac{m \times 8+n \times 3}{m+n}, \frac{m \times 9+n \times (-1)}{m+n}) \)
\( =(\frac{8 m+3 n}{m+n}, \frac{9 m-n}{m+n}) \)
点 \( (x, y) \) 在直线 \( x-y-2=0 \) 上。
这意味着点 \( (x,y) \) 满足上述方程。
\( \Rightarrow \frac{8 m+3 n}{m+n}-\frac{9 m-n}{m+n}-2=0 \)
\( \Rightarrow(8 m+3 n)-(9 m-n)-2(m+n)=0 \)
\( \Rightarrow 8 m+3 n-9 m+n-2 m-2 n=0 \)
\( \Rightarrow-3 m+2 n=0 \)
\( \Rightarrow 2 n=3 m \)
\( \Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3} \)
\( \Rightarrow m:n=2:3 \)
所需的分割比例为 $2:3$。
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