如果点 $(x, y)$ 在连接两点 $(1, -3)$ 和 $(-4, 2)$ 的直线上，证明 $x + y + 2 = 0$。
已知
$(x, y)$ 在连接两点 $(1, -3)$ 和 $(-4, 2)$ 的直线上。
要求
我们需要证明 $x + y + 2 = 0$。
解答
我们知道，
如果点 $A, B$ 和 $C$ 共线，则 $\triangle ABC$ 的面积为零。
设 $A(1, -3), B(x, y)$ 和 $C(-4, 2)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。
顶点为 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面积由以下公式给出：
三角形面积 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此，
三角形 \( ABC\) 的面积 \(=\frac{1}{2}[1(y-2)+x(2+3)+(-4)(-3-y)] \)
\( 0=\frac{1}{2}[y-2+x(5)-(-4)(3+y)] \)
\( 0(2)=(y-2+5x+12+4y) \)
\( 0=5x+5y+10 \)
\( 5(x+y+2)=0 \)
\( x+y+2=0 \)
证毕。
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