连接点$A( 2,\ 1)$和$B( 5,\ -8)$的线段被点P和Q三等分，其中P更靠近A。如果P也位于直线$2x - y = 0$上，求k的值。

已知：连接点$A( 2,\ 1)$和$B( 5,\ -8)$的线段被点$P$和$Q$三等分，使得$P$更靠近$A$，并且$P$也位于直线$2x - y = 0$上。

要求：求k的值。

由于线段$AB$被点$P$和$Q$三等分。

当$AP: PB = 1:2$时

利用分点公式，我们有

$P( x,\ y)=( \frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n}, \frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n})$

那么，$P$的坐标为

$P=( \frac{1×5+2×2}{1+2}, \frac{1×(-8)+1×2}{1+2})$

$\Rightarrow P=( \frac{5+4}{3}, \frac{-8+2}{3})$

$\Rightarrow P=( \frac{9}{3}, \frac{-6}{3})$

$\Rightarrow P=( 3, -2)$

已知点$P( 3,\ -2)$位于直线$2x-y+k=0$上

那么点$P( 3,\ -2)$将满足该方程，

$\Rightarrow 2(3)-(-2)+k=0$

$\Rightarrow 6+2+k=0$

$\Rightarrow 8+k=0$

$\Rightarrow k=-8$

因此，$k=-8$