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法律研究点 $P, Q, R$ 和 $S$ 将连接点 $A (1, 2)$ 和 $B (6, 7)$ 的线段分成 5 等份。求点 $P, Q$ 和 $R$ 的坐标。
已知
点 $P, Q, R$ 和 $S$ 将连接点 $A (1, 2)$ 和 $B (6, 7)$ 的线段分成 5 等份。
要求
我们必须找到点 $P, Q$ 和 $R$ 的坐标。
解答
设 $P, Q, R, S$ 的坐标分别为 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), (x_4,y_4)$。
点 $P, Q, R$ 和 $S$ 将连接点 $A (1, 2)$ 和 $B (6, 7)$ 的线段分成 5 等份。
这意味着，
$AP = PQ = QR = RS = SB$
利用分点公式，如果点 $( x,\ y)$ 将连接点 $( x_1,\ y_1)$ 和 $( x_2,\ y_2)$ 的线段按 $m:n$ 的比例分割，则
$(x,\ y)=( \frac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \frac{my_2+ny_1}{m+n})$
这意味着，
\( \mathrm{P} \) 将 \( \mathrm{AB} \) 按 \( 1: 4 \) 的比例分割
\( (x_{1}, y_{1})=(\frac{1 \times 6+4 \times 1}{1+4}, \frac{1 \times 7+4 \times 2}{1+4}) \)
\( =( \frac{6+4}{5}, \frac{7+8}{5}) \)
\( =(\frac{10}{5}, \frac{15}{5}) \)
\( =(2, 3) \)
点 \( \mathrm{P} \) 的坐标为 \( (2,3) \)。
\( \mathrm{Q} \) 将 \( A B \) 按 \( 2: 3 \) 的比例分割。
\( (x_{2}, y_{2})=(\frac{2 \times 6+3 \times 1}{2+3}, \frac{2 \times 7+3 \times 2}{2+3}) \)
\( =(\frac{12+3}{5}, \frac{14+6}{5}) \)
\( =( \frac{15}{5}, \frac{20}{5}) \)
\( =(3, 4) \)
点 \( \mathrm{Q} \) 的坐标为 \( (3,4) \)。
\( \mathrm{R} \) 将 \( \mathrm{AB} \) 按 \( 3: 2 \) 的比例分割。
\( (x_{3}, y_{3})=(\frac{3 \times 6+2 \times 1}{3+2}, \frac{3 \times 7+2 \times 2}{3+2}) \)
\( =(\frac{18+2}{5}, \frac{21+4}{5}) \)
\( =(\frac{20}{5}, \frac{25}{5}) \)
\( =(4, 5) \)
点 \( \mathrm{R} \) 的坐标为 \( (4,5) \)。
\( \mathrm{S} \) 将 \( \mathrm{AB} \) 按 \( 4: 1 \) 的比例分割。
\( (x_{4}, y_{4})=(\frac{4 \times 6+1 \times 1}{4+1}, \frac{4 \times 7+1 \times 2}{4+1}) \)
\( =(\frac{24+1}{5}, \frac{28+2}{5}) \)
\( =(\frac{25}{5}, \frac{30}{5}) \)
\( =(5, 6) \)
点 \( \mathrm{S} \) 的坐标为 \( (5,6) \)。
点 $P, Q$ 和 $R$ 的坐标分别为 $(2,3), (3,4)$ 和 $(4,5)$。
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