点 $P, Q, R$ 和 $S$ 将连接点 $A (1, 2)$ 和 $B (6, 7)$ 的线段分成 5 等份。求点 $P, Q$ 和 $R$ 的坐标。

已知

点 $P, Q, R$ 和 $S$ 将连接点 $A (1, 2)$ 和 $B (6, 7)$ 的线段分成 5 等份。

要求

我们必须找到点 $P, Q$ 和 $R$ 的坐标。

解答

设 $P, Q, R, S$ 的坐标分别为 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), (x_4,y_4)$。

点 $P, Q, R$ 和 $S$ 将连接点 $A (1, 2)$ 和 $B (6, 7)$ 的线段分成 5 等份。

这意味着，

$AP = PQ = QR = RS = SB$

利用分点公式，如果点 $( x,\ y)$ 将连接点 $( x_1,\ y_1)$ 和 $( x_2,\ y_2)$ 的线段按 $m:n$ 的比例分割，则

$(x,\ y)=( \frac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \frac{my_2+ny_1}{m+n})$

这意味着，

$\mathrm{P}$ 将 $\mathrm{AB}$ 按 $1: 4$ 的比例分割
$(x_{1}, y_{1})=(\frac{1 \times 6+4 \times 1}{1+4}, \frac{1 \times 7+4 \times 2}{1+4})$

$=( \frac{6+4}{5}, \frac{7+8}{5})$

$=(\frac{10}{5}, \frac{15}{5})$

$=(2, 3)$
点 $\mathrm{P}$ 的坐标为 $(2,3)$。

$\mathrm{Q}$ 将 $A B$ 按 $2: 3$ 的比例分割。
$(x_{2}, y_{2})=(\frac{2 \times 6+3 \times 1}{2+3}, \frac{2 \times 7+3 \times 2}{2+3})$

$=(\frac{12+3}{5}, \frac{14+6}{5})$

$=( \frac{15}{5}, \frac{20}{5})$

$=(3, 4)$
点 $\mathrm{Q}$ 的坐标为 $(3,4)$。

$\mathrm{R}$ 将 $\mathrm{AB}$ 按 $3: 2$ 的比例分割。
$(x_{3}, y_{3})=(\frac{3 \times 6+2 \times 1}{3+2}, \frac{3 \times 7+2 \times 2}{3+2})$

$=(\frac{18+2}{5}, \frac{21+4}{5})$

$=(\frac{20}{5}, \frac{25}{5})$

$=(4, 5)$

点 $\mathrm{R}$ 的坐标为 $(4,5)$。

$\mathrm{S}$ 将 $\mathrm{AB}$ 按 $4: 1$ 的比例分割。
$(x_{4}, y_{4})=(\frac{4 \times 6+1 \times 1}{4+1}, \frac{4 \times 7+1 \times 2}{4+1})$

$=(\frac{24+1}{5}, \frac{28+2}{5})$

$=(\frac{25}{5}, \frac{30}{5})$

$=(5, 6)$

点 $\mathrm{S}$ 的坐标为 $(5,6)$。

点 $P, Q$ 和 $R$ 的坐标分别为 $(2,3), (3,4)$ 和 $(4,5)$。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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