连接点$(2, 1)$和$(5, -8)$的直线被三等分于点P和Q。如果点P位于直线$2x – y + k = 0$上，求k的值。

已知

连接点$A( 2,\ 1)$和$B( 5,\ -8)$的线段被三等分于点$P$和$Q$，使得$P$更靠近$A$，且$P$位于直线$2x - y + k = 0$上。

要求

我们需要求出k的值。

解答

点$P$和$Q$三等分线段$AB$。

这意味着，$AP: PB = 1:2$

利用分点公式，我们有：

$( x,\ y)=( \frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n}, \frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n})$

则，点$P$的坐标为：

$P=( \frac{1\times5+2\times2}{1+2}, \frac{1\times(-8)+1\times2}{1+2})$

$\Rightarrow P=( \frac{5+4}{3}, \frac{-8+2}{3})$

$\Rightarrow P=( \frac{9}{3}, \frac{-6}{3})$

$\Rightarrow P=( 3, -2)$

点$P( 3,\ -2)$位于直线$2x-y+k=0$上。

这意味着，点$P( 3,\ -2)$满足上述方程。

$\Rightarrow 2(3)-(-2)+k=0$

$\Rightarrow 6+2+k=0$

$\Rightarrow 8+k=0$

$\Rightarrow k=-8$

因此，k的值为$-8$。

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更新于：2022年10月10日

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