连接点 $P(3, 3)$ 和 $Q(6, -6)$ 的线段被点 $A$ 和 $B$ 三等分，其中 $A$ 离 $P$ 更近。如果 $A$ 也在直线 $2x + y + k = 0$ 上，求 $k$ 的值。

已知

连接点 $P(3, 3)$ 和 $Q(6, -6)$ 的线段被点 $A$ 和 $B$ 三等分，其中 $A$ 离 $P$ 更近，且 $A$ 也在直线 $2x + y + k = 0$ 上。

要求

求 $k$ 的值。

解

由于线段 $PQ$ 被点 $A$ 和 $B$ 三等分。

$PA:AQ = 1:2$

利用分点公式，我们有

$P(x, y) = (\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$

则，$A$ 的坐标为

$A = (\frac{1\times6 + 2\times3}{1+2}, \frac{1\times(-6) + 2\times3}{1+2})$

$\Rightarrow A = (\frac{6+6}{3}, \frac{-6+6}{3})$

$\Rightarrow A = (\frac{12}{3}, \frac{0}{3})$

$\Rightarrow A = (4, 0)$

点 $A(4, 0)$ 在直线 $2x + y + k = 0$ 上。

这意味着，点 $A(4, 0)$ 满足上述方程。

$\Rightarrow 2(4) + 0 + k = 0$

$\Rightarrow 8 + k = 0$

$\Rightarrow k = -8$

$k$ 的值为 $-8$。

更新于：2022年10月10日

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