如果点$P( x,\ y)$与点$A( a\ +\ b,\ b\ –\ a)$和$B( a\ –\ b,\ a\ +\ b)$等距。证明$bx=ay$。

已知：点$P( x,\ y)$与点$A( a\ +\ b,\ b\ –\ a)$和$B( a\ –\ b,\ a\ +\ b)$等距

要求：证明$bx=ay$。

$P( x,\ y)$与点$A( a\ +\ b,\ b\ –\ a)$和$B( a\ –\ b,\ a\ +\ b)$等距。

我们知道，如果存在两点$( x_{1} ,\ y_{1})$和$( x_{2} ,\ y_{2})$，

两点之间的距离，$=\sqrt{( x_{2} -x_{1})^{2} +( y_{2} -y_{1})^{2}}$

利用距离公式，

$PA=\sqrt{( a+b-x)^{2} +( b-a-y)^{2}}$

类似地，$PB=\sqrt{( a-b-x)^{2} +( a+b-y)^{2}}$

因为，$PA=PB$

$\Rightarrow \sqrt{( a+b-x)^{2} +( b-a-y)^{2}} =\sqrt{( a-b-x)^{2} +( a+b-y)^{2}}$

$\Rightarrow ( a+b-x)^{2} +( b-a-y)^{2} =( a-b-x)^{2} +( a+b-y)^{2}$

$\Rightarrow ( a+b)^{2} +x^{2} -2( a+b) x+( b-a)^{2} +y^{2} -2( b-a) y=( a-b)^{2} +x^{2} -2( a-b) x+( a+b)^{2} +y^{2} -2( a+b) y$

$\Rightarrow -2( a+b) x-2( b-a) y=-2( a-b) x-2( a+b) y$

$\Rightarrow -2ax-2bx-2by+2ay=-2ax+2bx-2ay-2by$

$\Rightarrow -2bx+2ay=2bx-2ay$

$\Rightarrow 4bx=4ay$

$\Rightarrow bx=ay$

$\therefore bx=ay ....( 已证)$