如果由点$A( x,\ y) ,\ B( 1,\ 2)$ 和 $ C( 2,\ 1)$ 形成的三角形ABC的面积为6平方单位，则证明$x+y=15$。

已知：一个顶点为$A( x,\ y) ,\ B( 1,\ 2)$ 和 $C( 2,\ 1)$ 的三角形ABC，且三角形的面积为6平方单位。

要求：证明$x+y=15$

给定的顶点是$A( x,\ y) ,\ B( 1,2)$ 和 $C( 2,1)$。

我们知道，顶点为$( x_{1} ,\ y_{1}) ,\ ( x_{2} ,\ y)$ 和 $( x_{3} ,\ y_{3})$ 的三角形的面积为

$\frac{1}{2}[ x_{1}( y_{2} -y_{3}) +x_{2}( y_{3} -y_{1}) +x_{3}( y_{1} -y_{2})]$

将给定值代入公式，

我们有，

$\frac{1}{2}[ x( 2-1) +1( 1-y) +2( y-2)]=6$

$\Rightarrow \frac{1}{2}( x+1-y+2y-4)=6$

$\Rightarrow \frac{x+y-3}{2} =6$

$\Rightarrow x+y-3=12$

$\Rightarrow x+y=12+3=15$

因此，证明了$x+y=15$。