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法律研究在不进行长除法的情况下，判断下列有理数的小数表示形式是有限小数还是无限循环小数
(i) \( \frac{13}{3125} \).
(ii) $\frac{17}{8}$.
(iii) $\frac{64}{455}$.
(iv) $\frac{15}{1600}$.
(v) $\frac{29}{343}$.
(vi) $\frac{23}{2^3\times5^2}$.
(vii) $\frac{129}{2^2\times5^7\times7^{17}}$.
(viii) $\frac{6}{15}$.
(ix) $\frac{35}{50}$.
(x) $\frac{77}{210}$.
题目：
在不进行长除法的情况下，判断下列有理数的小数表示形式是有限小数还是无限循环小数。
解答
如果我们有一个有理数 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 互质，并且 $q$ 的质因数分解形式为 $2^n.5^m$，其中 $n$ 和 $m$ 为非负整数，那么 $\frac{p}{q}$ 有有限小数表示形式。
现在，
(i) 在 $\frac{13}{3125}$ 中，
- $13$ 和 $3125$ 互质。
- $3125 = 5^5 \times 2^0$，其形式为 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{13}{3125}$ 有有限小数表示形式。
(ii) 在 $\frac{17}{8}$ 中，
- $17$ 和 $8$ 互质。
- $8= 2^3 \times 5^0$，其形式为 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{17}{8}$ 有有限小数表示形式。
(iii) $\frac{64}{455}=\frac{64}{5\times7\times13}$
在 $\frac{64}{455}$ 中，
- $64$ 和 $455$ 互质。
- $455= 5 \times 7\times13$，其形式不是 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{64}{455}$ 有无限循环小数表示形式。
(iv) $\frac{15}{1600}=\frac{3\times5}{2^6\times5^2}$
$=\frac{3}{2^6\times5}$
在 $\frac{3}{2^6\times5}$ 中，
- $3$ 和 $2^6\times5$ 互质。
- $2^6\times5= 2^6 \times 5^1$，其形式为 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{15}{1600}$ 有有限小数表示形式。
(v) $\frac{29}{343}=\frac{29}{7\times7\times7}$
在 $\frac{29}{343}$ 中，
- $29$ 和 $343$ 互质。
- $343= 7^3$，其形式不是 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{29}{343}$ 有无限循环小数表示形式。
(vi) 在 $\frac{23}{2^3\times5^2}$ 中，
- $23$ 和 $2^3\times5^2$ 互质。
- $2^3 \times 5^2$ 的形式为 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{23}{2^3\times5^2}$ 有有限小数表示形式。
(vii) 在 $\frac{129}{2^2\times5^7\times7^{17}}$ 中
- $129$ 和 $2^2\times5^7\times7^{17}$ 互质。
- $2^2 \times 5^7 \times 7^{17}$ 的形式不是 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{129}{2^2\times5^7\times7^{17}}$ 有无限循环小数表示形式。
(viii) $\frac{6}{15}=\frac{2\times3}{3\times5}$
$=\frac{2}{5}$
在 $\frac{2}{5}$ 中，
- $2$ 和 $5$ 互质。
- $5= 2^0 \times 5^1$，其形式为 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{6}{15}$ 有有限小数表示形式。
(ix) $\frac{35}{50}=\frac{5\times7}{5\times10}=\frac{7}{10}$
在 $\frac{7}{10}$ 中
- $7$ 和 $10$ 互质。
- $10 = 2^1 \times 5^1$，其形式为 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{35}{50}$ 有有限小数表示形式。
(x) $\frac{77}{210}=\frac{7\times11}{7\times30}=\frac{11}{30}$
在 $\frac{11}{30}$ 中
- $11$ 和 $30$ 互质。
- $30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$，其形式不是 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{77}{210}$ 有无限循环小数表示形式。
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