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在不进行长除法的情况下,判断下列有理数的小数表示形式是有限小数还是无限循环小数
(i) 133125.
(ii) 178.
(iii) 64455.
(iv) 151600.
(v) 29343.
(vi) 2323×52.
(vii) 12922×57×717.
(viii) 615.
(ix) 3550.
(x) 77210.


题目: 

在不进行长除法的情况下,判断下列有理数的小数表示形式是有限小数还是无限循环小数。

解答

如果我们有一个有理数 pq,其中 pq 互质,并且 q 的质因数分解形式为 2n.5m,其中 nm 为非负整数,那么 pq 有有限小数表示形式。

现在,

(i) 在 133125 中,

  • 133125 互质。
  • 3125=55×20,其形式为 2n × 5m

所以,133125 有有限小数表示形式。 

(ii) 在 178 中,

  • 178 互质。
  • 8=23×50,其形式为 2n × 5m

所以,178 有有限小数表示形式。 

(iii) 64455=645×7×13

64455 中,

  • 64455 互质。
  • 455=5×7×13,其形式不是 2n × 5m

所以,64455 有无限循环小数表示形式。  

(iv) 151600=3×526×52

=326×5

326×5 中,

  • 326×5 互质。
  • 26×5=26×51,其形式为 2n × 5m

所以,151600 有有限小数表示形式。 

(v) 29343=297×7×7

29343 中,

  • 29343 互质。
  • 343=73,其形式不是 2n × 5m

所以,29343 有无限循环小数表示形式。  

(vi) 在 2323×52 中,

  • 2323×52 互质。
  • 23×52 的形式为 2n × 5m

所以,2323×52 有有限小数表示形式。 

(vii) 在 12922×57×717

  • 12922×57×717 互质。
  • 22×57×717 的形式不是 2n × 5m

所以,12922×57×717 有无限循环小数表示形式。  

(viii) 615=2×33×5

=25

25 中,

  • 25 互质。
  • 5=20×51,其形式为 2n × 5m

所以,615 有有限小数表示形式。 

(ix) 3550=5×75×10=710

710

  • 710 互质。
  • 10=21×51,其形式为 2n × 5m

所以,3550 有有限小数表示形式。 

(x) 77210=7×117×30=1130

1130

  • 1130 互质。
  • 30=21×31×51,其形式不是 2n × 5m

所以,77210 有无限循环小数表示形式。  

更新时间: 2022年10月10日

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