在不进行长除法的情况下,判断下列有理数的小数表示形式是有限小数还是无限循环小数
(i) 133125.
(ii) 178.
(iii) 64455.
(iv) 151600.
(v) 29343.
(vi) 2323×52.
(vii) 12922×57×717.
(viii) 615.
(ix) 3550.
(x) 77210.
题目:
在不进行长除法的情况下,判断下列有理数的小数表示形式是有限小数还是无限循环小数。
解答
如果我们有一个有理数 pq,其中 p 和 q 互质,并且 q 的质因数分解形式为 2n.5m,其中 n 和 m 为非负整数,那么 pq 有有限小数表示形式。
现在,
(i) 在 133125 中,
- 13 和 3125 互质。
- 3125=55×20,其形式为 2n × 5m。
所以,133125 有有限小数表示形式。
(ii) 在 178 中,
- 17 和 8 互质。
- 8=23×50,其形式为 2n × 5m。
所以,178 有有限小数表示形式。
(iii) 64455=645×7×13
在 64455 中,
- 64 和 455 互质。
- 455=5×7×13,其形式不是 2n × 5m。
所以,64455 有无限循环小数表示形式。
(iv) 151600=3×526×52
=326×5
在 326×5 中,
- 3 和 26×5 互质。
- 26×5=26×51,其形式为 2n × 5m。
所以,151600 有有限小数表示形式。
(v) 29343=297×7×7
在 29343 中,
- 29 和 343 互质。
- 343=73,其形式不是 2n × 5m。
所以,29343 有无限循环小数表示形式。
(vi) 在 2323×52 中,
- 23 和 23×52 互质。
- 23×52 的形式为 2n × 5m。
所以,2323×52 有有限小数表示形式。
(vii) 在 12922×57×717 中
- 129 和 22×57×717 互质。
- 22×57×717 的形式不是 2n × 5m。
所以,12922×57×717 有无限循环小数表示形式。
(viii) 615=2×33×5
=25
在 25 中,
- 2 和 5 互质。
- 5=20×51,其形式为 2n × 5m。
所以,615 有有限小数表示形式。
(ix) 3550=5×75×10=710
在 710 中
- 7 和 10 互质。
- 10=21×51,其形式为 2n × 5m。
所以,3550 有有限小数表示形式。
(x) 77210=7×117×30=1130
在 1130 中
- 11 和 30 互质。
- 30=21×31×51,其形式不是 2n × 5m。
所以,77210 有无限循环小数表示形式。
广告