不用进行长除法，说明下列有理数是否具有有限小数展开或无限循环小数展开。$\frac{213}{3125}$

已知： 

已知有理数为 $\frac{213}{3125}$。

要求： 

这里，我们必须在不实际进行长除法的情况下，检查给定的有理数是否具有有限小数展开或无限循环小数展开。

解答

如果我们有一个有理数 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的，并且 $q$ 的素因数分解形式为 $2^n.5^m$，其中 $n$ 和 $m$ 是非负整数，则 $\frac{p}{q}$ 具有有限小数展开。

现在，

$\frac{213}{3125}=\frac{213}{5\times5\times5\times5\times5}=\frac{213}{5^5}$

在 $\frac{213}{3125}$ 中

• $213$ 和 $3125$ 是互质的。
• $3125=2^0\times5^5$，其形式为 $2^n\ \times\ 5^m$。

因此，$\frac{213}{3125}$ 具有有限小数展开。 

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更新于：2022年10月10日

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