将有理数$\frac{257}{5000}$的分母写成$2^m \times5^n$的形式，其中m, n是非负整数。由此，无需实际进行除法，写出其十进制展开式。

已知

给定的有理数是 $\frac{257}{5000}$。

需要完成：

这里，我们需要通过将分母写成 $2^m \times 5^n$ 的形式（其中 m 和 n 是非负整数）来写出给定有理数的十进制展开式。

解答

$\frac{257}{5000}=\frac{257}{5\times1000}=\frac{257}{5\times2^3\times5^3}=\frac{257}{2^3\times5^4}$

我们可以看到 $2^3\times5^4$ 是 $2^m \times 5^n$ 的形式，其中 $m =3$ 且 $n = 4$。

这意味着：

给定的有理数具有有限小数展开式。

将分子和分母乘以 $2^1$，使分母成为 $10^r$ 的倍数，其中 r 是任何正整数。

因此，

$\frac{257}{2^3\times5^4}=\frac{257\times2^1}{2^1\times2^3\times5^4}$

$=\frac{257\times2}{(2\times5)^4}$

$=\frac{514}{10^4}$

$=\frac{514}{10000}$

$=0.0514$

给定有理数的十进制展开式为 $0.0514$。

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更新于：2022年10月10日

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