不用进行长除法，判断 $\frac{987}{10500}$ 的十进制展开是有限小数还是无限循环小数。请说明理由。

已知： 

给定的有理数是 $\frac{987}{10500}$。

要求： 

这里，我们需要在不进行长除法的情况下，检查给定的有理数的十进制展开是有限小数还是无限循环小数。

解答

如果我们有一个有理数 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 互质，并且 $q$ 的质因数分解形式为 $2^n.5^m$，其中 $n$ 和 $m$ 是非负整数，那么 $\frac{p}{q}$ 有有限小数展开。

现在，

$\frac{987}{10500}=\frac{21\times47}{21\times500}=\frac{47}{500}$

在 $\frac{47}{500}$ 中，

• $47$ 和 $500$ 互质。
• $500=2^2 \times 5^3$，其形式为 $2^n\ \times\ 5^m$。

所以，$\frac{987}{10500}$ 的十进制展开是有限小数。  

教程点

更新于： 2022年10月10日

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