将以下表达式展开:\( (\frac{a}{b c}+\frac{b}{c a}+\frac{c}{a b})^{2} \)


已知

\( (\frac{a}{b c}+\frac{b}{c a}+\frac{c}{a b})^{2} \)

要求

我们需要将给定的表达式展开。

解答

我们知道:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

因此:

$(\frac{a}{b c}+\frac{b}{c a}+\frac{c}{a b})^{2}=(\frac{a}{b c})^{2}+(\frac{b}{c a})^{2}+(\frac{c}{a b})^{2}+2 \times \frac{a}{b c} \times \frac{b}{c a}+2 \frac{b}{c a} \times \frac{c}{a b}+2 \frac{c}{a b} \times \frac{a}{b c}$

$=\frac{a^{2}}{b^{2} c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2} a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2} b^{2}}+\frac{2}{c^{2}}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}$

$=\frac{a^{2}}{b^{2} c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2} a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2} b^{2}}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{2}{c^{2}}$

因此,$(\frac{a}{b c}+\frac{b}{c a}+\frac{c}{a b})^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2} c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2} a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2} b^{2}}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{2}{c^{2}}$.

更新于: 2022年10月10日

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