面积

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介绍

面积是指图形所占的空间。多边形是由线段构成的平面封闭图形的二维形状。根据边的数量，每个多边形的名称各不相同，例如三角形、四边形等。圆和椭圆是封闭的二维形状，没有边。面积是一个二维度量，表示二维形状所覆盖的空间量。

面积

面积是二维形状内的空间。要测量多边形的面积，当图形在网格中时，我们可以使用单位正方形。通过计算网格中单位正方形的总数，我们可以计算该形状的面积。当二维图形不在网格中时，我们需要知道它们的长度和宽度才能找到它的面积。要找到圆的面积，将其分成扇形。

二维形状的面积

对于封闭的二维形状，我们可以使用方形网格来求面积。当二维图形不在网格中并且已知边、长或宽时，我们可以求出面积。

三角形的面积

三角形根据角度分为3种类型，根据边分为3种类型。各种三角形的公式在表中给出。

类型	图像	公式
直角三角形		$$\mathrm{面积 =\frac{1}{2}(底 × 高)}$$
等边三角形或等角三角形		$$\mathrm{面积 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\: 或\: 0.433 \: a^2}$$ 其中 a = 边长
等腰三角形		$$\mathrm{面积 =\frac{1}{2}(底 × 高)}$$
不等边三角形、钝角三角形和锐角三角形		$$\mathrm{面积 = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$ 其中 $\mathrm{s =\frac{a+b+c}{2}}$

四边形的面积

类型	图像	公式
正方形		面积 = a2 其中 a = 边长
矩形		面积 = 长 × 宽
平行四边形		面积 = 底 × 高
菱形		面积 =$\mathrm{\frac{1}{2}(d_1×d_2)}$ 其中 d1 & d2 为对角线
梯形		$\mathrm{面积 =\frac{1}{2} (a+b)h}$ 其中 a $\&$ b 为平行边，h 为高
四边形		$$\mathrm{面积 =\frac{1}{2} d(h_1+h_2)}$$ 其中 d = 对角线

多边形的面积

• 多边形可以有任意数量大于三条的边。

• 要找到多边形的面积，可以将多边形分成若干个三角形和四边形。

• 找到每个形状的面积，然后加起来得到多边形的面积。

圆和椭圆的面积

要找到圆的面积，我们需要将圆分成相等的部分，每个部分测量相等的度数，称为扇形。现在我们可以排列每个扇形来形成一个矩形。我们知道，

$$\mathrm{圆的面积 = 矩形的面积 = l × b}$$

长度 PQ 覆盖圆周的一半

$$\mathrm{其中\: PQ =\frac{1}{2} 圆的周长}$$

宽度 QS 覆盖圆的半径。

$$\mathrm{圆的面积 = \frac{1}{2}周长 × 半径。}$$

我们知道圆的周长 = 2πr

$$\mathrm{圆的面积 = \frac{1}{2}(2πr) × r = πr^2}$$

现在要找到椭圆的面积，

椭圆是通过拉伸和收缩圆的半径形成的。

$$\mathrm{圆的面积 = 椭圆的面积}$$

$$\mathrm{π ×r×r = π×a×b}$$

其中 a 是长半轴的长度，b 是短半轴的长度。

例题

1)当底边 = 4厘米，高 = 5厘米时，求三角形的面积。

答案

$$\mathrm{面积 =\frac{1}{2}(底 × 高)}$$

$$\mathrm{面积 = \frac{1}{2}(4 × 5) = \frac{1}{2}(20)}$$

$$\mathrm{面积 = 10 cm^2}$$

2)当 a = 2厘米时，求等边三角形的面积。

答案

$$\mathrm{面积 = \frac{√3}{4} a^2}$$

$$\mathrm{面积 = \frac{√3}{4} 2^2}$$

$$\mathrm{= √3\: 或\: 1.732cm^2}$$

3) 当 a = 3厘米，b = 6厘米，c = 7厘米时，求三角形的面积。

答案

当三角形的每条边长度不同时，我们可以应用海伦公式，首先求半周长，

$$\mathrm{s =\frac{a+b+c}{2} =\frac{3+6+7}{2} = \frac{16}{2} = 8 }$$

现在要找到三角形的面积，我们得到：

$$\mathrm{面积 = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$

$$\mathrm{面积 = \sqrt{8(8-3)(8-6)(8-7)}}$$

$$\mathrm{=\sqrt{80}}$$

4)当底边 = 12厘米，高 = 11厘米时，求平行四边形的面积。

答案

$$\mathrm{面积 = 底 × 高}$$

$$\mathrm{面积 = 12 ×11 = 121 cm^2}$$

5)菱形的周长为 20。如果一条对角线的长度为 8，则菱形的面积是多少？

答案

周长是菱形四条边的总和，

$$\mathrm{20 = 4 s}$$

$$\mathrm{s = \frac{20}{4} = 5}$$

要根据已知值找到另一条对角线，我们可以将菱形分成 4 个三角形。

$$\mathrm{a = \frac{1}{2} (对角线) = \frac{1}{2} (8) = 4}$$

其中一个三角形有两条已知边，使用勾股定理，我们有：

$$\mathrm{ c^2 = a^2+ b^2}$$

$$\mathrm{5^2 = 4^2+ b^2}$$

$$\mathrm{ b = 3 }$$

因此对角线 d₂ = 3 × 2 = 6 和 d₂ = 8

现在求菱形的面积，

$$\mathrm{面积 =\frac{1}{2}(d_1×d_2)}$$

$$\mathrm{面积 =\frac{1}{2}(8×6)}$$

$$\mathrm{= 24cm^2}$$

6)求已知四边形 ABCD 的面积

答案：已知，d = 18厘米，h₁ = 8厘米，h₂= 12厘米

$$\mathrm{面积 = \frac{1}{2} d(h_1+h_2)}$$

$$\mathrm{=\frac{1}{2} 18(8+12)}$$

$$\mathrm{= 180 cm^2}$$

7)如果椭圆的长轴 = 10厘米，短轴 = 6厘米，求椭圆的面积。

答案

$$\mathrm{a =\frac{1}{2}(10) = 5cm}$$

$$\mathrm{b =\frac{1}{2}(6) = 3cm }$$

$$\mathrm{椭圆的面积 = π×a×b}$$

$$\mathrm{= π×5×3 }$$

$$\mathrm{= 15π\: 或\: 47.12\: cm^2 }$$

结论

二维形状具有长度、宽度或高度或半径。要找到二维形状（例如三角形、四边形、多边形、圆和椭圆）的面积，我们可以使用给定的测量值并应用公式。在三角形中，如果只给出两条边，我们可以使用勾股定理来找到另一条边。圆和椭圆的面积是根据半径测量的。

常见问题

1. 圆中的扇形是什么？

当圆被分成几部分时，它被称为扇形，每个扇形包含两条半径和一条弧。每条弧都位于圆的圆周上。

2. 如何推导出四边形面积的公式？

考虑一个四边形 PQRS，其对角线构成两个三角形 ΔPQR & Δ RSQ。画一条垂直线 PE 和 SF，这是三角形的高度。

$$\mathrm{四边形的面积 = ΔPQR + ΔRSP}$$

$$\mathrm{面积 =\frac{1}{2}(对角线 × h_1) +\frac{1}{2}(对角线 × h_2) =\frac{1}{2} d( h_1+ h_2)}$$

3. 哪个公式可以应用于所有类型的三角形？

当给出三角形的边长时，海伦公式可以应用于所有类型的三角形，例如不等边三角形、锐角三角形和钝角三角形。

4. 如何在多边形中找到周长？

要找到任何多边形（例如三角形、四边形等）的周长，我们可以将所有边加起来。

5. 面积的三维形式是什么？

要找到二维物体所占的空间，我们可以使用面积公式。面积的三维形式是三维形状的体积。