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蜜蜂振动翅膀发出的声音频率在 20 Hz 到 20 kHz 之间，因此人耳可以听到。而摆钟振动发出的声音频率低于 20 Hz，超出了人耳的可听范围。
如果在湖底发生爆炸，水中就会产生冲击波。这些水中的冲击波是纵波。
已知：连接点 A(-5, -2) 和 B(4, -2) 的线段。 求解：我们必须找到位于 x 轴上，且在连接点 A(-5, -2) 和 B(4, -2) 的线段的垂直平分线上的点 Q 的坐标，并命名点 Q、A 和 B 形成的三角形的类型。解答：设点 Q 的坐标为 (x, 0)。点 Q 与 (A(5, 2) 和 B(4, 2) 等距。这意味着 AQ=BQ。使用距离公式，d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] AQ=√[(x-5)²+(0-2)²] BQ=√[(x-4)²+(0-2)²] 因此，√[(x-5)²+(0-2)²]=√[(x-4)²+(0-2)²] 两边平方，… 阅读更多
已知：点 (5,1),(-2,-3) 和 (8,2m) 共线。求解：我们必须找到 m 的值。解答：给定的点是：( -2, -3), ( 5, 1), ( 8, 2m)。这里 x₁=-2, y₁=-3, x₂=5, y₂=1, x₃=8, y₃=2m。如果给定的点共线，则由给定点形成的三角形的面积为零。⇒ 1/2[x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)]=0 ⇒ 1/2[-2(1-2m)+5(2m-(-3))+8(-3-1)]=0 ⇒ 1/2[-2+4m+5(2m+3)+8(-4)]=0 ⇒ (-2+4m+10m+15-32)=0 ⇒ (14m-19)=0 ⇒ 14m=19 ⇒ m=19/14 因此，m 的值为 19/14。
已知：点 A(2, -4) 与 P(3, 8) 和 Q(-10, y) 等距。求解：我们必须找到 y 的值和距离 PQ。解答：A(2, -4) 与 P(3, 8) 和 Q(-10, y) 等距。这意味着 AP=AQ。我们知道，两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之间的距离是，d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] 因此，√[(2-3)²+(-4-8)²]=√[(2+10)²+(-4-y)²] √[(-1)²+(-12)²]=√[(12)²+(4+y)²] √[1+144]=√[144+16+y²+8y] √145=√[160+y²+8y] 两边平方，我们得到，145=160+y²+8y y²+8y+160-145=0 y²+8y+15=0 y²+5y+3y+15=0 y(y+5)+3(y+5)=0 (y+5)(y+3)=0 如果 y+5=0，则 y=-5 如果 y+3=0，则 y=-3 点 P(3, 8) 和 Q(-10, y) 之间的距离是，当 y=-3 时 PQ =√[(-10-3)²+(y-8)²] =√[(-13)²+(-3-8)²] =√[169+121] =√290 当 y=-5 时，PQ=√[(-13)²+(-5-8)²] =√[169+169] =√338 y 的值为… 阅读更多
已知：三角形的顶点为 (-8, 4), (-6, 6) 和 (-3, 9)。求解：我们必须找到给定三角形的面积。解答：设 A(-8, 4), B(-6, 6) 和 C(-3, 9) 是△ABC 的顶点。我们知道，顶点为 (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) 的三角形的面积由下式给出：三角形面积=1/2[x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)] 因此，三角形 ABC 的面积=1/2[-8(6-9)+(-6)(9-4)+(-3)(4-6)] =1/2[-8(-3)+(-6)(5)+(-3)(-2)] =1/2[24-30+6] =1/2 × 0 =0 平方单位。给定三角形的面积为 0 平方单位。
阅读更多已知：连接点 (-4, -6) 和 (-1, 7) 的线段被 x 轴分割。求解：我们必须找到分割比例和分点的坐标。解答：分割给定线段的点位于 x 轴上。这意味着它的纵坐标为 0。设点 P(x, 0) 以 m:n 的比例与连接点 A(-4, -6) 和 B(-1, 7) 的线段相交。使用截面公式，我们有，(x, y)=( (mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n) ) 因此，P(x, 0)=( (m × (-1)+n × (-4))/(m+n), (m × 7+n ×(-6))/(m+n) ) ⇒ (7m-6n)/(m+n)=0 ⇒ 7m-6n=0 ⇒ 7m=6n ⇒ m/n=6/7 ⇒ m:n=6:7 这意味着，x=(6(-1)+7(-4))/(6+7) =(-6-28)/13 =(-34)/13 分割比例是… 阅读更多
已知：点 P(3/4, 5/12) 将连接点 A(1/2, 3/2) 和 B(2, -5) 的线段分割。求解：我们必须找到分割比例。解答：使用截面公式，如果点 (x, y) 以 m:n 的比例分割连接点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的线段，则 (x, y)=( (mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n) ) 这里，x₁=1/2, y₁=3/2, x₂=2, y₂=-5 设比例为 m:n 这意味着，P(3/4, 5/12)=( (m(2)+n(1/2))/(m+n), (m(-5)+n(3/2))/(m+n) ) 因此，将两边的坐标相等，我们得到，3/4=(m(2)+n(1/2))/(m+n) ⇒ 3(m+n)=4(2m+1/2n) ⇒ 3m+3n=8m+2n ⇒ 8m-3m=3n-2n ⇒ 5m=n ⇒ m/n=1/5 ⇒ m:n=1:5 所需比例为 1:5。
阅读更多已知：点 P(9a – 2, -b) 将连接 A(3a + 1, -3) 和 B(8a, 5) 的线段按比例 3:1 分割。求解：我们需要求出 a 和 b 的值。解：使用分割公式，(x, y) = (mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))这里，x₁ = 3a + 1, y₁ = -3, x₂ = 8a, y₂ = 5, x = 9a - 2, y = -b, m = 3，n = 1。(9a - 2, -b) = (3 × (8a) + 1 × (3a + 1))/(3 + 1), (3 × 5 + 1 × (-3))/(3 + 1))(9a - 2, -b) = (24a + 3a + 1)/4, (15 - 3)/4)(9a - 2, -b) = (27a + 1)/4, 12/4)这意味着，9a - 2 = (27a + 1)/4 且 -b = 34(9a - 2) = 27a + 1 且 b = -336a - 8 = 27a + 136a - 27a = 8 + 19a = 9a = 1因此，a 和 b 的值分别为 1 和 -3。阅读更多
已知：(a, b) 是连接点 A(10, -6) 和 B(k, 4) 的线段的中点，并且 a – 2b = 18。求解：我们需要求出 k 的值和 AB 的距离。解：我们知道，连接点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的线段的中点是 ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)因此，(a, b) = ((10 + k)/2, (-6 + 4)/2)(a, b) = ((10 + k)/2, -1)比较两边的坐标，我们得到，a = (10 + k)/2 且 b = -1已知，a - 2b = 18这意味着，a - 2(-1) = 18a + 2 = 18a = 18 - 2 = 1616 = (10 + k)/216(2) = 10 + kk = 32 - 10 = 22连接点 (x₁, y₁) 的距离…阅读更多