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不，这取决于铅笔浸入的液体的折射率。铅笔部分浸入水中看起来会在水面处弯曲，这是因为光线从水箱进入空气时发生了光的折射。在下图中，铅笔 AO 的 BO 部分浸入水中，看起来在 B 点弯曲。来自铅笔下端 O 的光线 OC 从水到空气发生折射，偏离法线…… 阅读更多
已知：玻璃的绝对折射率 = 玻璃的折射率 / 空气的折射率 = μ玻璃 / μ空气 = 1.5金刚石相对于玻璃的折射率 = μ金刚石 / μ玻璃 = 1.6所以，μ金刚石 = μ玻璃 × 1.6 = 1.5 × 1.6 [∵ μ玻璃 = 1.5] = 2.4金刚石的绝对折射率 μ金刚石 = 2.4
当两块平面镜以直角（90°）放置时，入射光线和反射光线将彼此平行。
已知：在等差数列中，\( S_{n}=3 n^{2}+5 n \) 且 \( a_{k}=164 \)要求：我们要求出 $k$。解：设 $a$ 为首项，$d$ 为公差。让我们代入 $n=1, 2$ 来求 $a$ 和 $d$ 的值$S_1=3(1)^2+5(1)$$=3+5$$=8$$\Rightarrow a_1=a=8$$S_2=3(2)^2+5(2)$$=12+10$$=22$第二项 $a_2=S_2-S_1$$=22-8$$=14$因此，$d=a_2-a_1$$=14-8$$=6$我们知道，第 $n$ 项 $a_n=a+(n-1)d$$a_k=a+(k-1)d$$164=8+(k-1)6$$164-8=(k-1)6$$156=(k-1)6$$k-1=26$$k=26+1$$k=27$因此，$k=27$。
已知：$S_n$ 表示等差数列前 $n$ 项的和。要求：我们要求证 $S_{12} = 3(S_8 – S_4)$。解：设 $a$ 为首项，$d$ 为公差。我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$S_{4}=\frac{4}{2}[2 \times a+(4-1) \times d]$$=2[2a+3d]$$=4a+6d$......(i)$S_{8}=\frac{8}{2}[2 \times a+(8-1) \times d]$$=4[2a+7d]$$=8a+28d$......(ii)$S_{12}=\frac{12}{2}[2 \times a+(12-1) \times d]$$=6[2a+11d]$$=12a+66d$......(iii)从 (i) 和 (ii)$3(S_8-S_4)=3[8a+28d-(4a+6d)]$$=3(8a+28d-4a-6d)$$=3(4a+22d)$$=12a+66d$$=S_{12}$ (从 (iii))证毕。 阅读更多
已知：等差数列的第 \( 4^{\text {th }} \) 项和第 \( 9^{\text {th }} \) 项分别为 \( -15 \) 和 \( -30 \)。要求：我们要求出前 17 项的和。解：设 $a$ 为首项，$d$ 为公差。这意味着，$a_{4}=a+(4-1)d$$-15=a+3d$$a=-15-3d$.........(i)$a_9=a+(9-1)d$$-30=a+8d$$-30=(-15-3d)+8d$ [从 (i)]$-30=-15-3d+8d$$-30+15=5d$$5d=-15$$d=-3$这意味着，$a=-15-3(-3)$$=-15+9$$=-6$我们知道，$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d$$S_{17}=\frac{17}{2}[2(-6)+(17-1)(-3)]$$=\frac{17}{2}[-12-16(3)]$$=\frac{17}{2}(-12-48)$$=\frac{17}{2}(-60)$$=17(-30)$$=-510$阅读更多
已知：等差数列前 6 项的和为 36，前 16 项的和为 256。要求：我们要求出前 10 项的和。解：设首项为 $a$，公差为 $d$。我们知道，前 $n$ 项的和 $S_{n} =\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$$S_{6}=\frac{6}{2}[2(a)+(6-1)d]$$36=3(2a+5d)$$12=2a+5d$$2a=12-5d$......(i)$S_{16}=\frac{16}{2}[2(a)+(16-1)d]$$256=8(2a+15d)$$32=2a+15d$$12-5d+15d=32$ (从 (i))$10d=32-12$$d=\frac{20}{10}$$d=2$这意味着，$2a=12-5(2)$$2a=12-10$$a=\frac{2}{2}$$a=1$前 10 项的和 $S_{10}=\frac{10}{2}[2(1)+(10-1)2]$$=5[2+9(2)]$$=5(2+18)$$=5(20)$$=100$因此，前 10 项的和为 100。 阅读更多
已知：等差数列的中间项为 30。要求：我们要求出该等差数列所有 11 项的和。解：项数 $n=11$这意味着，中间项 = (n+1)/2 项 = (11+1)/2 项 = 第 6 项设 $a$ 为该等差数列的首项，$d$ 为其公差。因此，$a_6=30$$a+5d=30$.........(i)我们知道，等差数列前 $n$ 项的和 $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$$S_{11}=\frac{11}{2}[2a+(11-1)d]$$=\frac{11}{2}[2a+10d]$$=\frac{11}{2}[2(a+5d)]$$=11(30) [从 (i)]$=330$该等差数列所有 11 项的和为 330。阅读更多
已知：给定等差数列为 $8, 10, 12, 14,…, 126$. 要求：我们要求出等差数列 $8, 10, 12, 14,…, 126$ 的后十项的和。解：为了求后十项的和，我们可以将给定的等差数列反过来写。这意味着，等差数列现在变为，$126, 124,........, 14, 12, 10, 8$这里，首项 \( (a)=126 \)，公差 \( (d)=124-126=-2 \)我们知道，${S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$因此，$\mathrm{S}_{10}=\frac{10}{2}[2 a+(10-1) d]$ $= 5[2(126)+9(-2)]$$=5(252-18)$ $=5 \times 234$$=1170$等差数列 $8, 10, 12, 14,…, 126$ 的后十项的和为 1170。
**已知：**前七个既是 2 的倍数又是 9 的倍数的数字。**要求：**求前七个既是 2 的倍数又是 9 的倍数的数字之和。**解答：**既是 2 的倍数又是 9 的倍数的数字，就是 2 和 9 的最小公倍数的倍数。2 和 9 的最小公倍数 $=2\times9=18$ 能被 18 整除的数字是 $18, 36, ....., 90, 180, .....$前七个既是 2 的倍数又是 9 的倍数的数字是 $18, 36, ......$这个数列是一个等差数列。这里，首项 $a=18$公差 $d=36-18=18$项数 $n=7$我们知道，$a_n=a+(n-1)d$$a_7=18+(7-1)18$$=18+6(18)$我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$=\frac{7}{2}[2 \times ... 阅读更多