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待解决问题：我们需要找到是否存在一个系数全是不同无理数但根都是有理数的二次方程。解答：具有无理数系数的二次方程不一定会具有无理数根。例如，二次方程 $\sqrt3x^2-7\sqrt3x+12\sqrt3=0$ 的根是 3 和 4。这里，3 和 4 是有理数，而二次方程的系数是无理数。
待解决问题：我们需要确定 0.2 是否是方程 \( x^{2}-0.4=0 \) 的根。解答：为了检查 0.2 是否是方程 \( x^{2}-0.4=0 \) 的根，我们需要检查它是否满足给定的二次方程。因此，左边 $=(0.2)^2-0.4=0.04-0.4=-0.36$，右边 $=0$。左边 $≠$ 右边。因此，0.2 不是方程 \( x^{2}-0.4=0 \) 的根。
已知：\( b=0, c
待解决问题：我们需要求解给定的二次方程。解答：(i) $2x^2-3x - 5 = 0$ 上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 2, b = -3$ 和 $c = - 5$。判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$= $(-3)^{2}-4 \times 2(-5)$ = $9+40$ = $49$ $\mathrm{D}>0$。设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，则 $\alpha =\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-(-3)+\sqrt{49}}{2(2)}$ = $\frac{3+7}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $\frac{5}{2}$，$\beta =\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-(-3)-\sqrt{49}}{2(2)}$ = $\frac{3-7}{4}$ = $\frac{-4}{4}$ = $-1$。因此，给定二次方程的根为 $\frac{5}{2}, -1$。(ii) $5x^2+13x + 8 = 0$ 上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 5, b = 13$ 和 $c = 8$。判别式… 阅读更多
已知：给定的二次方程为 \( 5 x^{2}+13 x+8=0 \)。待解决问题：我们需要求解给定的二次方程。解答：$5x^2+13x + 8 = 0$ 上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 5, b = 13$ 和 $c = 8$。判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$ = $(13)^{2}-4 \times 5\times8$ = $169-160$ = $9$ $\mathrm{D}>0$。设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，则 $\alpha =\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-13+\sqrt{9}}{2(5)}$ = $\frac{-13+3}{10}$ = $\frac{-10}{10}$ = $-1$，$\beta =\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-13-\sqrt{9}}{2(5)}$ = $\frac{-13-3}{10}$ = $\frac{-16}{10}$ = $-\frac{8}{5}$。因此，给定二次方程的根为 $-\frac{8}{5}, -1$。阅读更多
已知：给定的二次方程为 \( -3 x^{2}+5 x+12=0 \)。待解决问题：我们需要求解给定的二次方程。解答：$-3x^2+5x + 12 = 0$ 上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = -3, b = 5$ 和 $c = 12$。判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$ = $(5)^{2}-4 \times (-3)\times12$ = $25+144$ = $169$ $\mathrm{D}>0$。设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，则 $\alpha =\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-5+\sqrt{169}}{2(-3)}$ = $\frac{-5+13}{-6}$ = $\frac{8}{-6}$ = $-\frac{4}{3}$，$\beta =\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-5-\sqrt{169}}{2(-3)}$ = $\frac{-5-13}{-6}$ = $\frac{-18}{-6}$ = $3$。因此，给定二次方程的根为 $-\frac{4}{3}, 3$。阅读更多
已知：给定的二次方程为 \( -x^{2}+7 x-10=0 \)。待解决问题：我们需要求解给定的二次方程。解答：$-x^2+7x - 10 = 0$ 上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = -1, b = 7$ 和 $c =-10$。判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$ = $(7)^{2}-4 \times (-1)\times(-10)$ = $49-40$ = $9$ $\mathrm{D}>0$。设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，则 $\alpha =\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-7+\sqrt{9}}{2(-1)}$ = $\frac{-7+3}{-2}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$，$\beta =\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-7-\sqrt{9}}{2(-1)}$ = $\frac{-7-3}{-2}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$。因此，给定二次方程的根为 $2, 5$。阅读更多
已知：给定的二次方程为 \( x^{2}+2 \sqrt{2} x-6=0 \)。待解决问题：我们需要求解给定的二次方程。解答：\( x^{2}+2 \sqrt{2} x-6=0 \) 上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 1, b = 2 \sqrt{2}$ 和 $c =-6$。判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$ = $(2 \sqrt{2})^{2}-4 \times (1)\times(-6)$ = $8+24$ = $32$ $\mathrm{D}>0$。设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，则 $\alpha =\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-2 \sqrt{2}+\sqrt{32}}{2(1)}$ = $\frac{-2 \sqrt{2}+4\sqrt2}{2}$ = $\frac{2\sqrt2}{2}$ = $\sqrt2$，$\beta =\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-2 \sqrt{2}-\sqrt{32}}{2(1)}$ = $\frac{-2 \sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{-6\sqrt{2}}{2}$ = $-3\sqrt2$。因此，给定二次方程的根为 $\sqrt2, -3\sqrt2$。阅读更多
已知：\( x^{2}-3 \sqrt{5} x+10=0 \) 待解决问题：我们需要求解给定的二次方程。解答：我们知道，对于二次方程 $ax^{2} +bx+c=0$，$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2} -4ac}}{2a}$。将它与给定的二次方程比较，$a=1, b=-3\sqrt{5} \ 和\ c=10$。代入这些 $a, \ b\ 和\ c$ 的值，$x=\frac{-( -3\surd 5) \pm \sqrt{( -3\surd 5)^{2} -4\times 1\times 10}}{2\times 1}$，$x=\frac{3\sqrt{5} \pm \sqrt{( 45-40)}}{2}$，$x=\frac{\left( 3\sqrt{5} \pm \sqrt{5}\right)}{2}$。如果 $x=\frac{\left( 3\sqrt{5} +\sqrt{5}\right)}{2}$，$\Rightarrow x=\frac{4\sqrt{5}}{2} $，$\Rightarrow x=2\sqrt{5}$。如果 $x=\frac{\left( 3\sqrt{5} -\sqrt{5}\right)}{2}$，$\Rightarrow x=\frac{\left( 2\sqrt{5}\right)}{2}$，$\Rightarrow x=\sqrt{5}$。$\therefore x=2\sqrt{5}, \ \sqrt{5}$阅读更多
已知：给定的二次方程为 \( \frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{11} x+1=0 \)。待解决问题：我们需要求解给定的二次方程。解答：\( \frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{11} x+1=0 \) 上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = \frac{1}{2}, b = -\sqrt{11}$ 和 $c =1$。判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$ = $(-\sqrt{11})^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times 1$ = $11-2$ = $9$ $\mathrm{D}>0$。设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，则 $\alpha =\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-(-\sqrt{11})+\sqrt{9}}{2(\frac{1}{2})}$ = $\frac{\sqrt{11}+3}{1}$ = $3+\sqrt{11}$，$\beta =\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$ = $\frac{-(-\sqrt{11})-\sqrt{9}}{2(\frac{1}{2})}$ = $\frac{\sqrt{11}-3}{1}$ = $-3+\sqrt{11}$。因此，给定二次方程的根为 $3+\sqrt{11}, -3+\sqrt{11}$。阅读更多