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已知：给定的方程组为：$λx + y = λ^2$ 和 $x + λy = 1$需要做：我们需要找到 $λ$ 的值，使得给定的方程组有无限多个解。解：给定的方程组可以写成：$λx + y -λ^2=0$$x + λy -1=0$两个变量的方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。上述方程组有无限多个解的条件是$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} \ $将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有， $a_1=λ, b_1=1, ... 阅读更多
已知：给定的方程组为：$λx + y = λ^2$ 和 $x + λy = 1$需要做：我们需要找到 $λ$ 的值，使得给定的方程组有唯一解。解：给定的方程组可以写成：$λx + y -λ^2=0$$x + λy -1=0$两个变量的方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。上述方程组有唯一解的条件是$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ ≠ \frac{b_{1}}{b_{2}} \ $将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有， $a_1=λ, b_1=1, c_1=-λ^2$ ... 阅读更多
已知：给定的方程组为：\( 4 x+\frac{6}{y}=15 \)\( 6 x-\frac{8}{y}=14, y ≠ 0 \)需要做：我们需要解给定的方程组。解： $4 x+\frac{6}{y}=15$令 $\frac{1}{y}=u$这意味着， $4x+6u=15$......(i)$6 x-\frac{8}{y}=14$$6x-8u=14$.......(ii)将 (i) 乘以 8，将 (ii) 乘以 6，得到， $8(4x+6u)=8(15)$$32x+48u=120$.......(iii)$6(6x-8u)=6(14)$$36x-48u=84$.........(iv)将 (iii) 和 (iv) 相加，得到， $32x+36x+48u-48u=120+84$$68x=204$$x=\frac{204}{68}$$x=3$这意味着， $4(3)+6u=15$$6u=15-12$$u=\frac{3}{6}$$u=\frac{1}{2}$这意味着， $y=\frac{1}{\frac{1}{2}}$$y=2$因此，给定方程组的解为 $x=3$ 和 $y=2$。 阅读更多
已知：\( \frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1 \)\( \frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8, x, y ≠ 0 \)需要做：我们需要解给定的方程组。解：$\frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1$........(i)$\frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8$........(ii)令 $\frac{1}{x}=u$ 和 $\frac{1}{y}=v$ 代入方程 (i) 和 (ii)，得到， $\frac{1}{2} u-v=-1$$\Rightarrow \frac{u-2 v}{2}=-1$$\Rightarrow u-2 v=-2$.....(iii)从方程 (ii) 得， $u+\frac{1}{2} v=8$$\Rightarrow \frac{2 u+v}{2}=8$$2u+v=16$......(iv) 将 (iv) 乘以 2，并将结果与 (iii) 相加，得到， $u-2v+2(2u+v)=-2+2(16)$$u+4u-2v+2v=-2+32$$5u=30$$u=6$这意味着， $6-2v=-2$$2v=6+2$$v=\frac{8}{2}$$v=4$因此， $x=\frac{1}{u}=\frac{1}{6}$$y=\frac{1}{v}=\frac{1}{4}$阅读更多
已知：\( 43 x+67 y=-24 \)\( 67 x+43 y=24 \)需要做：我们需要解给定的方程组。解：\( 43 x+67 y=-24 \)......(i)\( 67 x+43 y=24 \).........(ii)将 (i) 乘以 43，将 (ii) 乘以 67，然后将结果相减，得到，$43(43x+67y)=43(-24)$$43^2x+43(67)y=24(-43)$.........(iii)$67(67x+43y)=67(24)$$67^2x+43(67)y=24(67)$.......(iv)从 (iv) 中减去 (iii)，得到，$(67^2-43^2)x=24(67+43)$$(67+43)(67-43)x=24(110)$$110(24)x=24(110)$$x=1$这意味着，$43(1)+67y=-24$$67y=-24-43$$67y=-67$$y=-1$因此，$x=1$$y=-1$
已知：\( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=a+b \) \( \frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}=2, a, b ≠ 0 \)需要做：我们需要解给定的线性方程组。解：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=a+b$..........(i)$\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}=2$.........(ii) 将 (i) 乘以 $\frac{1}{a}$，然后从 (ii) 中减去，得到， $[\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}]-[\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{a b}]=2-(1+\frac{b}{a})$$y(\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a b})=2-1-\frac{b}{a}$$y(\frac{a-b}{a b^{2}})=1-\frac{b}{a}$$=(\frac{a-b}{a})$$y=\frac{a b^{2}}{a}$$y=b^{2}$这意味着， $\frac{x}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}}=2$$\frac{x}{a^{2}}=2-1$$\frac{x}{a^{2}}=1$$x=a^{2}$因此，$x$ 和 $y$ 的所需值为 $a^{2}$ 和 $b^{2}$。阅读更多
已知：\( \frac{2 x y}{x+y}=\frac{3}{2} \) \( \frac{x y}{2 x-y}=\frac{-3}{10}, x+y ≠ 0, 2 x-y ≠ 0 \)需要做：我们需要解给定的方程组。解：$\frac{2 x y}{x+y}=\frac{3}{2}$这意味着， $\frac{x+y}{2 x y}=\frac{2}{3}$$\frac{x}{x y}+\frac{y}{x y}=\frac{2\times2}{3}$$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{4}{3}$.......(i)$\frac{x y}{2 x-y}=\frac{-3}{10}$$\frac{2 x-y}{x y}=\frac{-10}{3}$$\frac{2 x}{x y}-\frac{y}{x y}=\frac{-10}{3}$$\frac{2}{y}-\frac{1}{x}=\frac{-10}{3}$...........(ii)令 $\frac{1}{x}=u$ 和 $\frac{1}{y}=v$这意味着， $v+u=\frac{4}{3}$.........(iii)$2 v-u=\frac{-10}{3}$........(iv)将 (iii) 和 (iv) 相加，得到， $3 v=\frac{4}{3}-\frac{10}{3}$$3v=\frac{4-10}{3}$$3 v=-2$$v=\frac{-2}{3}$将 $v$ 的值代入 (iii)，得到， $\frac{-2}{3}+u =\frac{4}{3}$$u=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}$$u=\frac{6}{3}$$u=2$这意味着， $x=\frac{1}{u}=\frac{1}{2}$$y=\frac{1}{v}=\frac{1}{\frac{-2}{3}}$$y=\frac{-3}{2}$阅读更多
已知：给定的方程组为 $\frac{x}{10}+\frac{y}{5}-1=0$ 和 $\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15$ 以及 $y = \lambda x + 5$。需要做：我们需要解给定的方程组并求 $\lambda$ 的值。 解：给定的方程组可以写成， $\frac{x}{10}+\frac{y}{5}=1$$\Rightarrow \frac{1(x)+2(y)}{10}=1$$\Rightarrow x+2y=1(10)$ (交叉乘法)$\Rightarrow x+2y=10$---(i)$\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15$$\Rightarrow \frac{3(x)+4(y)}{24}=15$ (8 和 6 的最小公倍数是 24)$\Rightarrow 3x+4y=15(24)$ (交叉乘法)$\Rightarrow 3x=360-4y$$\Rightarrow x=\frac{360-4y}{3}$----(ii)将 $x=\frac{360-4y}{3}$ 代入方程 (i)，得到， $\frac{360-4y}{3}+2y=10$ 两边乘以 $3$，得到， $3(\frac{360-4y}{3})+3(2y)=3(10)$$360-4y+6y=30$$2y=30-360$$2y=-330$$y=\frac{-330}{2}$$y=-165$将 $y=-165$ 的值代入方程 (ii)，得到， $x=\frac{360-4(-165)}{3}$$x=\frac{360+660}{3}$$x=\frac{1020}{3}$$x=340$$y = \lambda x + 5$ (已知)$-165=\lambda (340)+5$$340\lambda=-165-5$$\lambda=\frac{-170}{340}$$\lambda=\frac{-1}{2}$因此，给定方程组的解为 $x=340$， ... 阅读更多
待解决问题：我们需要判断给定的线性方程组是否相容/不相容。如果相容，则用图形方法求解。解答：(i) $3x+y+4=0$.........(i)$6x-2y+4=0$.........(ii)这里，$a_{1}=3, b_{1}=1, c_{1}=4$$a_{2}=6, b_{2}=-2, c_{2}=4$$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}$$=\frac{1}{2}$$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}$$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{4}{4}$$=1$$\frac{a_{1}}{a_{2}} ≠ \frac{b_{1}}{b_{2}}$这意味着，给定的方程组是相容的。对于方程 (i)， $y=-4-3x$$x$0$-1$$y$$-4$$-1$在图上画出点 $( 0, \ -4)$ 和 $(-1, \ -1)$，并连接它们得到方程。 $3x+y+4=0$对于方程 (ii)， $2y=6x+4$$y=3x+2$$x$$-1$0$y$$-1$2在图上画出点 $(-1, \ -1)$ 和 $( 0, \ 2)$，并连接它们得到方程 $6x-2y+4=0$$x=-1, \ y=-1$ 是给定方程组的解。因此，该解是相容的。(ii) $x-2y-6=0$.........(i)$3x-6y=0$.........(ii)这里，$a_{1}=1, b_{1}=-2, c_{1}=-6$$a_{2}=3, ... 阅读更多
已知：给定的方程组为：\( \lambda x+y=\lambda^{2} \) 和 \( x+\lambda y=1 \)待解决问题：我们需要找到 $\lambda$ 的值，使得给定的方程组(i) 无解。(ii) 有无限多个解(iii) 有唯一解解答：给定的方程组可以写成：$\lambda x + y -\lambda^2=0$$x + \lambda y -1=0$两个变量方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。将给定的方程组与标准形式的方程进行比较，我们有， $a_1=\lambda, b_1=1, c_1=-\lambda^2$ 和 $a_2=1, b_2=\lambda, c_2=-1$(i) 上述方程组无解的条件... 阅读更多