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已知：线性方程组：\( x+y=3 \) \( 3 x+3 y=9 \)需要做：我们必须找到给定的线性方程组是否相容/不相容。如果相容，则以图形方式获得解。解：$x+y-3=0$.........(i)$3x+3y-9=0$.........(ii)这里， $a_{1}=1, b_{1}=1, c_{1}=-3$$a_{2}=3, b_{2}=3, c_{2}=-9$$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}$$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{3}$$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-3}{-9}$$=\frac{1}{3}$ $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_1}{c_2}$这意味着，给定的直线对是重合的，因此是相容的。对于方程 (i)， $y=3-x$$x$0$3$$y$$3$$0$在图形上绘制点 $( 0, \ 3)$ 和 $(3, \ 0)$，并连接它们以获得方程 $x+y=3$对于方程 (ii)， $3y=9-3x$$y=3-x$$x$$0$3$y$$3$0在图形上绘制点 $(0, \ 3)$ 和 $(3, \ 0)$，并连接它们以获得方程 $3x+3y=9$ 由于... 阅读更多
需要做：我们必须解给定的方程组。解：(i) $x+y=3.3$$\Rightarrow y=3.3-x$......(i)$\frac{0.6}{3 x-2 y}=-1$$0.6=-1(3x-2y)$$0.6=-3x+2y$$3x=2y-0.6$$3x=2(3.3-x)-0.6$ [来自 (i)]$3x=6.6-2x-0.6$$3x+2x=6$$x=\frac{6}{5}$$x=1.2$这意味着， $y=3.3-1.2$$y=2.1$因此，给定方程组的解为 $x=1.2$ 和 $y=2.1$。(ii) $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=4$$\Rightarrow \frac{4x+3y}{12}=4$$4x+3y=12(4)$$3y=48-4x$......(i)$\frac{5x}{6}-\frac{y}{8}=4$$\Rightarrow \frac{4(5x)-3(y)}{24}=4$$20x-3y=24(4)$$20x=96+3y$$20x=96+48-4x$ [来自 (i)]$20x+4x=144$$24x=144$$x=\frac{144}{24}$$x=6$这意味着， $y=\frac{48-4(6)}{3}$$y=\frac{24}{3}$$y=8$因此，给定方程组的解为 $x=6$ 和 $y=8$。(iii) $4 x+\frac{6}{y}=15$设 $\frac{1}{y}=u$这意味着， $4x+6u=15$......(i)$6 x-\frac{8}{y}=14$$6x-8u=14$.......(ii)将 (i) 乘以 8，将 (ii) 乘以 6，得到， $8(4x+6u)=8(15)$$32x+48u=120$.......(iii)$6(6x-8u)=6(14)$$36x-48u=84$.........(iv)将 (iii) 和 (iv) 相加，得到， $32x+36x+48u-48u=120+84$$68x=204$$x=\frac{204}{68}$$x=3$这意味着， $4(3)+6u=15$$6u=15-12$$u=\frac{3}{6}$$u=\frac{1}{2}$这意味着， $y=\frac{1}{\frac{1}{2}}$$y=2$因此，给定方程组的解为 $x=3$ 和 $y=2$。 (iv) $\frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1$........(i)$\frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8$........(ii)设 $\frac{1}{x}=u$ 和 ... 阅读更多
已知：给定的方程组为：\( \frac{x}{3}+\frac{y}{4}=4 \)\( \frac{5 x}{6}-\frac{y}{8}=4 \)需要做：我们必须解给定的方程组。解：$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=4$$\Rightarrow \frac{4x+3y}{12}=4$$4x+3y=12(4)$$3y=48-4x$......(i)$\frac{5x}{6}-\frac{y}{8}=4$$\Rightarrow \frac{4(5x)-3(y)}{24}=4$$20x-3y=24(4)$$20x=96+3y$$20x=96+48-4x$ [来自 (i)]$20x+4x=144$$24x=144$$x=\frac{144}{24}$$x=6$这意味着，$y=\frac{48-4(6)}{3}$$y=\frac{24}{3}$$y=8$因此，给定方程组的解为 $x=6$ 和 $y=8$。
已知：给定的方程组为，\( x=2 y \)\( y=2 x \)需要找到：我们必须找到给定的方程组是否无解。解：我们知道，无解的条件是$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$\( x-2 y=0 \)\( 2 x-y=0 \)这里，$a_1=1, b_1=-2, c_1=0$$a_2=2, b_2=-1, c_2=0$因此，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-1}=2$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$这里，$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$因此，给定的线性方程组有唯一解。
已知：给定的方程组为，\( 3 x+y-3=0 \)\( 2 x+\frac{2}{3} y=2 \)需要找到：我们必须找到给定的方程组是否无解。解：我们知道，无解的条件是$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$\( 3 x+y-3=0 \)\( 3(2 x)+3(\frac{2}{3} y)=3(2) \)$6x+2y-6=0$这里，$a_1=3, b_1=1, c_1=-3$$a_2=6, b_2=2, c_2=-6$因此，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$这里，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$因此，给定的线性方程组表示重合线。
已知：给定的方程组为， \( -2 x-3 y=1 \)\( 6 y+4 x=-2 \)需要找到：我们必须找到给定的方程组是否表示一对重合线。解：我们知道，重合线的条件是$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$\( -2 x-3 y-1=0 \)\( 6 y+4 x+2=0 \)这里， $a_1=-2, b_1=-3, c_1=-1$$a_2=4, b_2=6, c_2=2$因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{2}$这里， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$因此，给定的线性方程组表示重合线。 阅读更多
已知：给定的方程组为， \( \frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0 \)\( 4 x+8 y+\frac{5}{16}=0 \)需要找到：我们必须找到给定的方程组是否表示一对重合线。解：我们知道，重合线的条件是， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$\( \frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0 \)$10(\frac{x}{2})+10(y)+10(\frac{2}{5})=0$$5x+10y+4=0$\( 4 x+8 y+\frac{5}{16}=0 \)$16(4x)+16(8y)+16(\frac{5}{16})=0$$64x+128y+5=0$这里， $a_1=5, b_1=10, c_1=4$$a_2=64, b_2=128, c_2=5$因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{64}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{10}{128}=\frac{5}{64}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{5}$这里， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$因此，给定的线性方程组无解。 阅读更多
已知：给定的方程组为， \( \frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2} \)\( \frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6} \)需要找到：我们必须找到给定的线性方程组是否相容。解：我们知道，线性方程组相容的条件是， $\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$ [对于唯一解]$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ [对于无限多个解]\( \frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2} \)$10(\frac{3}{5}x)-10(y)=10(\frac{1}{2})$$6x-10y-5=0$\( \frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6} \)$30(\frac{1}{5}x)-30(3y)=30(\frac{1}{6})$$6x-90y-5=0$这里， $a_1=6, b_1=-10, c_1=-5$$a_2=6, b_2=-90, c_2=-5$因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{1}=1$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-10}{-90}=\frac{1}{9}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-5}{-5}=1$这里， $\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$因此，给定的线性方程组有唯一解，因此是相容的。 阅读更多
**已知:** 给定的方程组为： \( 2 a x+b y=a \)\( 4 a x+2 b y-2 a=0 ; a, b ≠ 0 \) **求解:** 我们需要判断给定的线性方程组是否相容。 **解:** 我们知道，线性方程组相容的条件为： $\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$ [对于唯一解]$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ [对于无限多解]\( 2 a x+b y-a=0 \)\( 4 a x+2 b y-2 a=0; a, b ≠ 0 \) 这里，$a_1=2a, b_1=b, c_1=-a$$a_2=4a, b_2=2b, c_2=-2a$ 因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{b}{2b}=\frac{1}{2}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-a}{-2a}=\frac{1}{2}$ 这里， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ 因此，给定的线性方程组有无限多... 阅读更多
**已知:** 给定的方程组为： \( x+3 y=11 \)\( 2(2 x+6 y)=22 \) **求解:** 我们需要判断给定的线性方程组是否相容。 **解:** 我们知道，线性方程组相容的条件为： $\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$ [对于唯一解]$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ [对于无限多解]\( x+3 y-11=0 \)\( 4 x+12 y-22=0 \) 这里，$a_1=1, b_1=3, c_1=-11$$a_2=4, b_2=12, c_2=-22$ 因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{4}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-11}{-22}=\frac{1}{2}$ 这里， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$ 因此，给定的线性方程组无解，因此不相容。 阅读更多