下列方程是否表示一对重合直线？请说明你的答案。
\( \frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0 \)
\( 4 x+8 y+\frac{5}{16}=0 \)

已知

给定的方程组为：

\( \frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0 \)

\( 4 x+8 y+\frac{5}{16}=0 \)

求解

我们必须确定给定的方程组是否表示一对重合直线。

解答

我们知道：

重合直线的条件是：

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

\( \frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0 \)

$10(\frac{x}{2})+10(y)+10(\frac{2}{5})=0$

$5x+10y+4=0$

\( 4 x+8 y+\frac{5}{16}=0 \)

$16(4x)+16(8y)+16(\frac{5}{16})=0$

$64x+128y+5=0$

这里：

$a_1=5, b_1=10, c_1=4$

$a_2=64, b_2=128, c_2=5$

因此：

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{64}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{10}{128}=\frac{5}{64}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{5}$

这里：

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$

因此，给定的线性方程组无解。

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更新于：2022年10月10日

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