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已知：由 \( 3 x+2 k y=2 \) 和 \( 2 x+5 y+1=0 \) 给出的直线平行。要求：我们必须找到 \( k \) 的值。解答：我们知道，平行线的条件是，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$\( 3 x+2 k y=2 \) 和 \( 2 x+5 y+1=0 \) 平行。这里，$a_1=3, b_1=2k, c_1=-2$$a_2=2, b_2=5, c_2=1$因此，$\frac{3}{2}=\frac{2k}{5}≠\frac{-2}{1}$$\frac{3}{2}=\frac{2k}{5}$$2(2k)=5(3)$$4k=15$$k=\frac{15}{4}$k 的值为 $\frac{15}{4}$。
已知：方程组 \( c x-y=2 \) 和 \( 6 x-2 y=3 \)。要求：我们必须找到使方程组 \( c x-y=2 \) 和 \( 6 x-2 y=3 \) 有无限多个解的 \( c \) 的值。解答：我们知道，无限多个解的条件是， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$\( c x-y-2=0 \) 和 \( 6 x-2 y-3=0 \)这里， $a_1=c, b_1=-1, c_1=-2$$a_2=6, b_2=-2, c_2=-3$因此， $\frac{c}{6}=\frac{-1}{-2}=\frac{-2}{-3}$$\frac{c}{6}=\frac{1}{2}$ 和 $\frac{c}{6}=\frac{2}{3}$$c=3$ 和 $c=4$这里，我们有两个不同的 c 值。因此，没有 c 值可以使给定方程有无限多个解。阅读更多
已知：一对相关联的一元一次方程组的一个方程是 \( -5 x+7 y=2 \)。要求：我们必须找到第二个方程。解答：我们知道，相关联的一元一次方程组的条件是，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{k}$\( -5x+7y-2=0 \)这里，$a_1=-5, b_1=7, c_1=-2$对于 $k=2$，$a_2=2(-5)=-10, b_2=2(7)=14, c_2=2(-2)=-4$因此，所需的相关的联立方程为 $a_2x+b_2y+c_2=0$，即 $-10x+14y-4=0$$\Rightarrow 10x-14y+4=0$
已知：唯一解 \( x=2, y=-3 \)。要求：我们必须找到具有唯一解 \( x=2, y=-3 \) 的一元一次方程组。解答：如果 $x = 2, y = - 3$ 是任何方程组的唯一解，则这些值必须满足该方程组。对于选项 (b)， $2x+ 5y= -11$LHS $= 2x + 5y$$= 2(2) + 5(-3)$$= 4 - 15$$= -11$$=$ RHS$4x + 10y = -22$LHS $= 4x + 10y$$= 4(2) + 10(-3)$$= 8 - 30$$= -22$$=$ RHS
已知：\( x=a, y=b \) 是方程 \( x-y=2 \) 和 \( x+y=4 \) 的解。要求：我们必须找到 \( a \) 和 \( b \) 的值。解答：如果 $x = a$ 和 $y = b$ 是方程 $x - y = 2$ 和 $x+ y = 4$ 的解，则这些值必须满足这些方程。因此，$a-b=2$....(i)$a+b=4$......(ii)将 (i) 和 (ii) 相加，得到，$2a=6$$a=3$这意味着，$b=4-3=1$
已知：阿鲁娜只有 1 卢比和 2 卢比的硬币。她拥有的硬币总数为 50 枚，并且她拥有的钱数为 75 卢比。要求：我们必须找到 1 卢比和 2 卢比的硬币数。解答：设 1 卢比硬币的数量为 $x$，2 卢比硬币的数量为 $y$。硬币总数 $=50$这意味着， $x+y=50$........(i)总金额 $=75$卢比这意味着， $x\times1+y\times2=75$$x+2y=75$..........(ii)从 (ii) 中减去 (i)，得到， $x+2y-x-y=75-50$$y=25$$\Rightarrow x=50-25$$=25$1 卢比和 2 卢比硬币的数量均为 25 枚。阅读更多
已知：父亲的年龄是儿子的 6 倍。四年后，父亲的年龄将是儿子的 4 倍。要求：我们必须找到父亲和儿子的现在年龄。解答：设儿子和父亲现在的年龄分别为 $x$ 和 $y$。这意味着， $y=6x$........(i)4 年后的儿子年龄 $= x+4$4 年后的父亲年龄 $= y+4$。因此， $y+4 = 4[x+4]$$y+4 = 4x+16$$y = 4x+16-4$$y = 4x+12$.....(ii)将 (i) 代入 (ii)，得到， $6x=4x+12$$6x-4x=12$$2x=12$$x=6$$\Rightarrow y=6(6)=36$儿子的现在年龄为 6 岁，父亲的现在年龄为 ... 阅读更多
要求：我们必须找到给定的联立方程组是否有解。解答：我们知道，无解的条件是$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$(i) \( 2 x+4 y-3=0 \)\( 12 y+6 x-6=0 \)这里， $a_1=2, b_1=4, c_1=-3$$a_2=6, b_2=12, c_2=-6$因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$这里， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$因此，给定的联立方程组无解。(ii) \( x-2 y=0 \)\( 2 x-y=0 \)这里， $a_1=1, b_1=-2, c_1=0$$a_2=2, b_2=-1, c_2=0$因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-1}=2$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$这里， $\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$因此，给定的联立方程组有唯一解。(iii) \( 3 x+y-3=0 \)\( 3(2 x)+3(\frac{2}{3} y)=3(2) \)$6x+2y-6=0$这里， $a_1=3, b_1=1, c_1=-3$$a_2=6, b_2=2, c_2=-6$因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$这里， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$因此，给定的联立方程组表示重合直线。
要求：我们必须找到给定的联立方程组是否表示一对重合直线。解答：我们知道，重合直线的条件是， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$(i) \( 3 x+\frac{1}{7} y=3 \)$7(3x)+7(\frac{1}{7}y)=7(3)$$21x+y-21=0$\( 7 x+3 y-7=0 \)这里， $a_1=21, b_1=1, c_1=-21$$a_2=7, b_2=3, c_2=-7$因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{21}{7}=3$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{3}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-21}{-7}=3$这里， $\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$因此，给定的联立方程组有唯一解。(ii) \( -2 x-3 y-1=0 \)\( 6 y+4 x+2=0 \)这里， $a_1=-2, b_1=-3, c_1=-1$$a_2=4, b_2=6, c_2=2$因此， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{2}$这里， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$因此，给定的联立方程组表示重合直线。
求解：我们需要判断给定的线性方程组是否相容。解：我们知道，线性方程组相容的条件是：$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$ [对于唯一解]$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ [对于无限多解](i) \( -3 x-4 y-12=0 \)\( 4 y+3 x-12=0 \)这里，$a_1=-3, b_1=-4, c_1=-12$$a_2=4, b_2=3, c_2=-12$所以，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{-3}{4}$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{3}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-12}{-12}=1$这里，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$因此，给定的线性方程组无解，所以不相容。 (ii) \( \frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2} \)$10(\frac{3}{5}x)-10(y)=10(\frac{1}{2})$$6x-10y-5=0$\( \frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6} \)$30(\frac{1}{5}x)-30(3y)=30(\frac{1}{6})$$6x-90y-5=0$这里，$a_1=6, b_1=-10, c_1=-5$$a_2=6, b_2=-90, c_2=-5$所以，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{1}=1$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-10}{-90}=\frac{1}{9}$$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-5}{-5}=1$这里，$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$因此，给定的线性方程组有唯一解，所以... 阅读更多