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题目：这里，我们需要找到一个二次多项式，其零点的和与积分别如所给。解答：（i）多项式的零点之和$=-\frac{8}{3}$。多项式的零点之积$=\frac{4}{3}$。对于给定的零点之和与积，可以构造一个二次多项式：$f(x) = x^2 -( \text { 零点之和 }) x + ( \text { 零点之积 })$因此，所需的多项式 f(x) 为，$x^2- (-\frac{8}{3})x + (\frac{4}{3})$$=x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3}$为了找到 f(x) 的零点，我们将 $f(x) = 0$。这意味着， $x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = 0$在两边乘以 3，我们得到 ... 阅读更多
已知：三次多项式 \( x^{3}-6 x^{2}+3 x+10 \) 的零点形式为 \( a \), \( a+b, a+2 b \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 为实数。求解：这里，我们需要找到 \( a \) 和 \( b \) 的值以及给定多项式的零点。解答：设 $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+3 x+10$$a, (a+b)$ 和 $(a+2 b)$ 是 $f(x)$ 的零点。这意味着，零点之和 $=-\frac{(\text { x}^{2} 的系数})}{(\text { x}^{3} 的系数})}$因此， $a+(a+b)+(a+2 b)=-\frac{(-6)}{1}$$3 a+3 b=6$$a+b=2$.........(i)两个零点之积的和 $=(\frac{\text { ... 阅读更多
已知：给定的多项式为 $6x^3\ +\ \sqrt{2}x^2\ -\ 10x\ -\ 4\sqrt{2}$，其零点之一为 $\sqrt2$。求解：我们需要找到给定多项式的所有零点。解答：如果 $a$ 是 $f(x)$ 的零点，则 $(x-a)$ 是 $f(x)$ 的因式。因此，$x-\sqrt{2}$ 是给定多项式的因式。应用带余除法，被除式$=6x^3+\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}$除式$x-\sqrt{2}$$x-\sqrt2$)$6x^3+\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}$($6x^2+7\sqrt{2}x+4$ $6x^3-6\sqrt{2}x^2$ ----------------------------- $7\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}$ $7\sqrt{2}x^2-14x$ --------------------------------- ... 阅读更多
已知：\( x^{2}+2 x+k \) 是多项式 \( f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6 \) 的因式，当 \( f(x) \) 被 \( x^{2}+2 x+k \) 除时，余数为零。求解：我们需要找到 $k$ 并求出这两个多项式的所有零点。解答：使用长除法将 \( f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6 \) 除以 \( x^{2}+2 x+k \)。$x^2+2x+k$)$2x^4+x^3-14x^2+5x+6$($2x^2-3x-2(k+4)$ $2x^4+4x^3+2kx^2$ ----------------------------------- $-3x^3-2x^2(k+7)+5x+6$ ... 阅读更多
已知：给定的多项式为 $x^3\ -\ 3\sqrt{5}x^2\ +\ 13x\ -\ 3\sqrt{5}$。 $x\ -\ \sqrt{5}$ 是给定三次多项式的因式。求解：我们需要找到给定多项式的所有零点。解答：$x-\sqrt{5}$ 是给定多项式的因式。应用带余除法，被除式$=x^3-3\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}$除式$=x-\sqrt{5}$$x-\sqrt5$)$x^3-3\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}$($x^2-2\sqrt{5}x+3$ $x^3-\sqrt{5}x^2$ ----------------------------------------- $-2\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}$ $-2\sqrt{5}x^2+10x$ --------------------------------- ... 阅读更多
已知：\( q(x)=x^{3}+2 x^{2}+a \)\( p(x)=x^{5}-x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+3 x+b \)求解：这里，我们需要找到 \( a \) 和 \( b \) 的值，使得 \( q(x) \) 的零点也是多项式 \( p(x) \) 的零点。解答：$q(x) = x^3 + 2x^2 + a$ 的零点也是多项式 $p(x) = x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b$ 的零点。这意味着，$q(x)$ 是 $p(x)$ 的因式。使用长除法，我们得到，$x^3+2x^2+a$)$x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b$($x^2-3x+2$ ... 阅读更多
求解：我们需要回答给定的问题并说明理由。解答：（i）设除数，一个 5 次多项式为 $ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$商 $= x^2 -1$根据多项式带余除法，被除式 $=$ 除数 $\times$ 商 $+$ 余数$= (ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f)\times(x^2 -1) +$ 余数$=$ (一个 7 次多项式) $+$ 余数但给定的被除式是一个 6 次多项式。这里，带余除法不满足。因此，$x^2 -1$ 不能作为 $x^{6}+2 x^{3}+x-1$ 被一个 5 次多项式除时的商。 ... 阅读更多
求解：我们需要找到当 \( a x^{2}+b x+c \) 被 \( p x^{3}+q x^{2}+r x+s, p≠ 0 \) 除时的商和余数。解答：这里，除数 $=px3 + qx2 + rx + s, p≠0$被除式 $= ax^2 + bx + c$我们观察到，除式的次数 $>$ 被除式的次数我们知道，如果被除式的次数小于除式的次数，则商为零，余数与被除式相同。因此，根据带余除法，商 $= 0$，余数 $= ax^2 + bx + c$
**已知：**多项式 \( p(x) \) 除以多项式 \( g(x) \) 时，商为零。**求：**我们需要找到 \( p(x) \) 和 \( g(x) \) 的次数之间的关系。**解：**如果多项式 p(x) 除以多项式 g(x) 时，商为零，那么 p(x) 和 g(x) 的次数之间的关系是 p(x) 的次数小于 g(x) 的次数。例如，$p(x)=10x$ 且 $g(x)=5x^2$
**已知：**非零多项式 \( p(x) \) 除以多项式 \( g(x) \) 时，余数为零。**求：**我们需要找到 \( p(x) \) 和 \( g(x) \) 的次数之间的关系。**解：**如果非零多项式 p(x) 除以多项式 g(x) 时，余数为零，那么 g(x) 是 p(x) 的一个因式，并且其次数小于或等于 p(x) 的次数。例如，$p(x)=10x^2$ 且 $g(x)=5x$ 则 $p(x) \div g(x)=10x^2 \div 5x=2x$ $p(x)=10x^2$ 且 $g(x)=5x^2$ 则 $p(x) \div g(x)=10x^2 \div 5x^2=2$阅读更多