已知三次多项式 $x^{3}-6 x^{2}+3 x+10$ 的零点形式为 $a$, $a+b, a+2 b$，其中 $a$ 和 $b$ 为实数，求 $a$ 和 $b$ 的值以及该多项式的零点。

已知

三次多项式 $x^{3}-6 x^{2}+3 x+10$ 的零点形式为 $a$, $a+b, a+2 b$，其中 $a$ 和 $b$ 为实数。

求解

这里，我们需要求出 $a$ 和 $b$ 的值以及给定多项式的零点。

解

令 $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+3 x+10$

$a,(a+b)$ 和 $(a+2 b)$ 是 $f(x)$ 的零点。

这意味着，

零点之和 $=-\frac{(\text { x² 系数})}{(\text { x³ 系数})}$

因此，

$a+(a+b)+(a+2 b)=-\frac{(-6)}{1}$

$3 a+3 b=6$

$a+b=2$.........(i)

两两零点之积的和 $=(\frac{\text { x 系数}}{\text { x³ 系数}})$

这意味着，

$a(a+b)+(a+b)(a+2 b)+a(a+2 b)=\frac{3}{1}$

$a(a+b)+(a+b)\{(a+b)+b\}+a\{(a+b)+b\}=3$

$2 a+2(2+b)+a(2+b)=3$

$2 a+2(2+2-a)+a(2+2-a)=3$

$2 a+8-2 a+4 a-a^{2}=3$

$-a^{2}+8=3-4 a$

$a^{2}-4 a-5=0$

$a^2-5a+a-5 = 0$

$a (a - 5) + 1 (a - 5) = 0$

$(a - 5) (a + 1) = 0$

$a = 5$ 或 $a=-1$

这意味着，

如果 $a = -1$，则 $b = 2-(-1)=2+1=3$           [来自 (i)]

如果 $a = 5$，则 $b=2-5=-3$                 [来自 (i)]

因此，

当 $a = -1, b = 3$ 时，$f(x)$ 的零点为

$a,(a+b),(a + 2) = -1, (-1+3), (-1+6)$

$=-1,2, 5$

当 $a = 5, b = -3$ 时，

$a, (a + b), (a + 2b) = 5, (5 -3), (5 -6)$

$=5,2,-1$

因此，$a$ 和 $b$ 的值分别为 $a = - 1$ 和 $b= 3$ 或 $a = 5, b = -3$，零点为 $-1,2$ 和 $5$。

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更新于: 2022年10月10日

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