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法律研究已知三次多项式 \( x^{3}-6 x^{2}+3 x+10 \) 的零点形式为 \( a \), \( a+b, a+2 b \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 为实数，求 \( a \) 和 \( b \) 的值以及该多项式的零点。
已知
三次多项式 \( x^{3}-6 x^{2}+3 x+10 \) 的零点形式为 \( a \), \( a+b, a+2 b \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 为实数。
求解
这里，我们需要求出 \( a \) 和 \( b \) 的值以及给定多项式的零点。
解
令 $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+3 x+10$
$a,(a+b)$ 和 $(a+2 b)$ 是 $f(x)$ 的零点。
这意味着，
零点之和 $=-\frac{(\text { x² 系数})}{(\text { x³ 系数})}$
因此，
$a+(a+b)+(a+2 b)=-\frac{(-6)}{1}$
$3 a+3 b=6$
$a+b=2$.........(i)
两两零点之积的和 $=(\frac{\text { x 系数}}{\text { x³ 系数}})$
这意味着，
$a(a+b)+(a+b)(a+2 b)+a(a+2 b)=\frac{3}{1}$
$a(a+b)+(a+b)\{(a+b)+b\}+a\{(a+b)+b\}=3$
$2 a+2(2+b)+a(2+b)=3$
$2 a+2(2+2-a)+a(2+2-a)=3$
$2 a+8-2 a+4 a-a^{2}=3$
$-a^{2}+8=3-4 a$
$a^{2}-4 a-5=0$
$a^2-5a+a-5 = 0$
$a (a - 5) + 1 (a - 5) = 0$
$(a - 5) (a + 1) = 0$
$a = 5$ 或 $a=-1$
这意味着，
如果 $a = -1$，则 $b = 2-(-1)=2+1=3$ [来自 (i)]
如果 $a = 5$，则 $b=2-5=-3$ [来自 (i)]
因此，
当 $a = -1, b = 3$ 时，$f(x)$ 的零点为
$a,(a+b),(a + 2) = -1, (-1+3), (-1+6)$
$=-1,2, 5$
当 $a = 5, b = -3$ 时，
$a, (a + b), (a + 2b) = 5, (5 -3), (5 -6)$
$=5,2,-1$
因此，$a$ 和 $b$ 的值分别为 $a = - 1$ 和 $b= 3$ 或 $a = 5, b = -3$，零点为 $-1,2$ 和 $5$。
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