下列各题中，从所给的四个选项中选择正确的答案
如果三次多项式 \( x^{3}+a x^{2}+b x+c \) 的一个零点是 \( -1 \)，则另外两个零点的乘积是
(A) \( b-a+1 \)
(B) \( b-a-1 \)
(C) \( a-b+1 \)
(D) \( a-b-1 \)

已知：

三次多项式 \( x^{3}+a x^{2}+b x+c \) 的一个零点是 \( -1 \).

求解：

我们必须找到另外两个零点的乘积。

解答

设 $p(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

三次多项式 $p(x)$ 的一个零点是 $-1$。

设 $\alpha, \beta$ 和 $\gamma$ 是三次多项式 $p(x)$ 的零点，其中 $\alpha=-1$。

$p(-1)=0$

$\Rightarrow (-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)+c=0$

$\Rightarrow -1+a-b+c=0$

$\Rightarrow c=1-a+b$.............(i)

我们知道：

所有三个零点的乘积 $=-\frac{\text { 常数项 }}{\text { }x^{3} \text{ 的系数 }}$

$=-\frac{c}{1}$

$=-c$

$\alpha \beta \gamma=-c$

$\Rightarrow (-1) \beta \gamma=-c$

$\Rightarrow \beta \gamma=c$

$\Rightarrow \beta \gamma=1-a+b$            [来自 (i)]

因此，另外两个根的乘积是 $1-a+b$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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