对于以下每个例子，求一个二次多项式，其零点的和与积分别如给定值。也通过因式分解求出这些多项式的零点。
$\frac{-8}{3}, \frac{4}{3}$

待办事项

这里，我们需要找到零点之和与积分别如给定值的二次多项式。

解答

(i) 多项式零点之和$=-\frac{8}{3}$。

多项式零点之积$=\frac{4}{3}$。

根据给定的零点之和与积，可以得到一个二次多项式

$f(x) = x^2 -( \text { 零点之和 }) x + ( \text { 零点之积 })$

因此，

所需的多项式 f(x) 为：

$x^2- (-\frac{8}{3})x + (\frac{4}{3})$

$=x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3}$

为了求出 f(x) 的零点，我们令 $f(x) = 0$。

这意味着：

$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = 0$

两边乘以 3，得到：

$3(x^2) + 3(\frac{8}{3})x + 3(\frac{4}{3})= 0$

$3x^2+8x+4=0$

$3x^2 + 6x + 2x + 4 = 0$

$3x(x + 2) + 2(x + 2) = 0$

$(x + 2) (3x + 2) = 0$

$(x + 2) = 0$ 和 $(3x + 2) = 0$

$x=-2$ 和 $x=-\frac{2}{3}$

因此，该二次多项式的两个零点是 $-2$ 和 $-\frac{2}{3}$。

(ii) 多项式零点之和$=\frac{21}{8}$。

多项式零点之积$=\frac{5}{16}$。

根据给定的零点之和与积，可以得到一个二次多项式

$f(x) = x^2 -( \text { 零点之和 }) x + ( \text { 零点之积 })$

因此，

所需的多项式 f(x) 为：

$x^2- (\frac{21}{8})x + (\frac{5}{16})$

$=x^2 - \frac{21}{8}x + \frac{5}{16}$

为了求出 f(x) 的零点，我们令 $f(x) = 0$。

这意味着：

$x^2 -\frac{21}{8}x + \frac{5}{16} = 0$

两边乘以 16，得到：

$16(x^2) -16(\frac{21}{8})x + 16(\frac{5}{16})= 0$

$16x^2-42x+5=0$

$16x^2 -40x - 2x + 5 = 0$

$8x(2x - 5) - 1(2x -5) = 0$

$(2x - 5) (8x-1) = 0$

$(2x -5) = 0$ 和 $(8x -1) = 0$

$x=\frac{5}{2}$ 和 $x=\frac{1}{8}$

因此，该二次多项式的两个零点是 $\frac{5}{2}$ 和 $\frac{1}{8}$。

(iii) 多项式零点之和$=-2\sqrt{3}$。

多项式零点之积$=-9$。

根据给定的零点之和与积，可以得到一个二次多项式

$f(x) = x^2 -( \text { 零点之和 }) x + ( \text { 零点之积 })$

因此，

所需的多项式 f(x) 为：

$x^2- (-2\sqrt{3})x + (-9)$

$=x^2 +2\sqrt{3}x -9$

为了求出 f(x) 的零点，我们令 $f(x) = 0$。

这意味着：

$x^2 +2 \sqrt{3}x -9 = 0$

$x^2 +3\sqrt{3} x -\sqrt{3}x -9 = 0$

$x(x + 3\sqrt{3}) -\sqrt{3}(x +3\sqrt{3}) = 0$

$(x + 3\sqrt{3}) (x -\sqrt{3}) = 0$

$(x + 3\sqrt{3}) = 0$ 和 $(x -\sqrt{3}) = 0$

$x=-3\sqrt{3}$ 和 $x=\sqrt{3}$

因此，该二次多项式的两个零点是 $-3\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$。

(iv) 多项式零点之和$=-\frac{3}{2\sqrt5}$。

多项式零点之积$=-\frac{1}{2}$。

根据给定的零点之和与积，可以得到一个二次多项式

$f(x) = x^2 -( \text { 零点之和 }) x + ( \text { 零点之积 })$

因此，

所需的多项式 f(x) 为：

$x^2- (-\frac{3}{2\sqrt5})x + (-\frac{1}{2})$

$=x^2 + \frac{3}{2\sqrt5}x - \frac{1}{2}$

为了求出 f(x) 的零点，我们令 $f(x) = 0$。

这意味着：

$x^2 + \frac{3}{2\sqrt5}x - \frac{1}{2} = 0$

两边乘以 $2\sqrt5$，得到：

$2\sqrt5(x^2) +2\sqrt5(\frac{3}{2\sqrt5})x - 2\sqrt5(\frac{1}{2})= 0$

$2\sqrt5x^2+3x-\sqrt5=0$

$2\sqrt5x^2 + 5x - 2x -\sqrt5= 0$

$\sqrt5x(2x + \sqrt5) -1(2x +\sqrt5) = 0$

$(2x +\sqrt5) (\sqrt5x - 1) = 0$

$(2x +\sqrt5) = 0$ 和 $(\sqrt5x - 1) = 0$

$2x=-\sqrt5$ 和 $\sqrt5x=1$

$x=\frac{-\sqrt5}{2}$ 和 $x=\frac{1}{\sqrt5}$

因此，该二次多项式的两个零点是 $\frac{-\sqrt5}{2}$ 和 $\frac{1}{\sqrt5}$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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