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已知：二次多项式 \( x^{2}+k x+k \) 且 \( k>1 \)。需要做：我们需要找出对于某个大于 1 的奇数整数 k，二次多项式 \( x^{2}+k x+k \) 是否能有相等的零点。解答：设 $p(x) = x^2 + kx + k$。如果 $p(x)$ 有相等的零点，则其判别式为零。$D = b^2 -4ac = 0$ 这里，$a =1, b = k$ 且 $c = k$。因此，$(k)^2-4(1)(k) = 0$ $k(k- 4)=0$ $k =0$ 或 $k=4$这意味着，二次多项式 $p(x)$ 在 $k =0, 4$ 时有相等的零点。因此，对于某个大于 1 的奇数整数 k，二次多项式 \( x^{2}+k x+k \) 不能有相等的零点。
需要做：我们需要判断给定的陈述是真是假。解答：(i) 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是二次多项式 \( a x^{2}+b x+c \) 的零点。如果二次多项式 \( a x^{2}+b x+c \) 的两个零点都是正数，则 $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ $\alpha \beta=\frac{c}{a}$这意味着，$c>0, a>0$ 且 $b<0$ $c>0$ $-a>0$ $a<0$ ...
已知：如果一个多项式的图形只与 x 轴相交于一点，则它不可能是二次多项式。需要做：我们需要判断给定的陈述是真是假。解答：我们知道，一个二次多项式可能恰好与 X 轴相切于一点，或恰好与 X 轴相交于两点，或不与 X 轴相交。因此，如果一个多项式的图形只与 X 轴相交于一点，则它不可能是二次多项式。因此，给定的陈述是正确的。
已知：如果一个多项式的图形恰好与 x 轴相交于两点，则它不一定是二次多项式。需要做：我们需要判断给定的陈述是真是假。解答：我们知道，如果一个多项式的图形恰好与 X 轴相交于两点，则它可能是也可能不是二次多项式。一个次数大于 2 的多项式也是可能的，当它有两个实根和其他虚根时，它恰好与 X 轴相交于两点。因此，给定的陈述是正确的。
已知：如果三次多项式的两个零点为零，则它没有线性项和常数项。需要做：我们需要判断给定的陈述是真是假。解答：设 $\alpha, \beta$ 和 $\gamma$ 是三次多项式 p(x) 的零点。已知两个零点为零。设 $\alpha=\beta=0$ 且 $\gamma=a$。因此，$p(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ $=(x-0)(x-0)(x-a)$ $=x^{3}-a x^{2}$ 它没有线性项和常数项。因此，给定的陈述是正确的。
已知：如果三次多项式的所有零点都是负数，则多项式的所有系数和常数项都具有相同的符号。需要做：我们需要判断给定的陈述是真是假。解答：设 $p(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是一个三次多项式，且 $\alpha, \beta, \gamma$ 是 $p(x)$ 的根。这意味着，根的和 $=\alpha+\beta+\gamma=-a$ 负数的和是负数。这意味着，$a$ 是正数。成对取根的积 $=\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma+\gamma \cdot \beta=b$ 两个负数的积是正数，正数的和是正数。这意味着，$b$ 是正数。积... 阅读更多
已知：如果三次多项式 \( x^{3}+a x^{2}-b x+c \) 的所有三个零点都是正数，则 \( a, b \) 和 \( c \) 中至少有一个是非负数。需要做：我们需要判断给定的陈述是真是假。解答：设 $\alpha, \beta$ 和 $ \gamma$ 是三次多项式 $x^{3}+a x^{2}-b x+c$ 的零点。这意味着，零点的积 $=\alpha \beta \gamma=-\frac{\text { 常数项 }}{\text { x}^{3} \text { 的系数}}$ $=\frac{-c}{1}$ $\alpha \beta \gamma=-c$ 已知，所有三个零点都是正数。这意味着，所有三个零点的积也是正数。$\alpha \beta \gamma>0$ $-c>0$ $c<0$ $-a>0$ $a<0$ ... 阅读更多
已知：二次多项式 \( k x^{2}+x+k \) 具有相等零点的唯一 k 值是 \( \frac{1}{2} \)。需要做：我们需要判断给定的陈述是真是假。解答：设 $f(x) = kx^2 + x + k$。对于相等根，$f(x)$ 的判别式应为零。$D = b^2 - 4ac = 0$ 因此，$D=1^2-4(k)(k) = 0$ $1=4k^2$ $k^2=\frac{1}{4}$ $k =\sqrt{\frac{1}{4}}$ $k=\pm \frac{1}{2}$ 所以，对于两个 k 值，给定的二次多项式具有相等的零点。因此，给定的陈述是错误的。
已知：HCF = 18 LCM = 380 需要做：我们需要检查两个数是否可以同时具有 18 作为它们的最大公约数和 380 作为它们最小公倍数。解答：最大公约数是两个数之间最大的公因数，最小公倍数是这两个数的最小公倍数。因此，对于一对数，最小公倍数必须能被这两个数的最大公约数整除。因此，如果两个数的最大公约数为 18，最小公倍数为 380，则 380 必须能被 18 整除。现在，$\frac{380}{18}\ =\ 21.11$ 我们可以看到 380 不能被 18 整除。因此，两个数不能同时具有 18 作为它们的最大公约数和... 阅读更多
已知：给定的有理数是 $\frac{987}{10500}$。需要做：这里，我们需要在不进行长除法的情况下检查给定的有理数是否具有有限小数展开或无限循环小数展开。解答：如果我们有一个有理数 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质数，并且 $q$ 的素因数分解的形式为 $2^n.5^m$，其中 $n$ 和 $m$ 是非负整数，则 $\frac{p}{q}$ 具有有限小数展开。现在，$\frac{987}{10500}=\frac{21\times47}{21\times500}=\frac{47}{500}$ 在 $\frac{47}{500}$ 中：$47$ 和 $500$ 是互质数。$500=2^2 \times 5^3$，其形式为 $2^n\ \times\ 5^m$。因此，$\frac{987}{10500}$ 具有有限小数展开。 阅读更多