下列说法是“正确”还是“错误”？请说明你的理由。
如果三次多项式\( x^{3}+a x^{2}-b x+c \)的三个零点都是正数，那么\( a, b \)和\( c \)中至少有一个是非负数。

已知

如果三次多项式\( x^{3}+a x^{2}-b x+c \)的三个零点都是正数，那么\( a, b \)和\( c \)中至少有一个是非负数。

待解决

我们必须判断给定语句是正确还是错误。

解答

设$\alpha, \beta$和$ \gamma$是三次多项式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$的零点

这意味着：

零点的乘积$=\alpha \beta \gamma=-\frac{\text { 常数项 }}{\text { x}^{3}\text { 的系数}}$

$=\frac{-c}{1}$

$\alpha \beta \gamma=-c$

已知，所有三个零点都是正数。

这意味着：

三个零点的乘积也是正数。

$\alpha \beta \gamma>0$

$-c>0$

$c<0$

零点的和$=\alpha+\beta+\gamma=-\frac{\text { x}^{2}\text { 的系数 }}{\text { x}^{3}\text { 的系数}}$

$=\frac{-a}{1}$

$=-a$

但是$\alpha, \beta$和$\gamma$都是正数。
这意味着它们的和也是正数。
$\alpha+\beta+\gamma>0$

$-a>0$

$a<0$

两个零点乘积的和$=\frac{\text { x的系数 }}{\text { x}^{3}\text { 的系数}}$

$=\frac{-b}{1}$

$=-b$
因此，只有当所有常数$a, b$和$c$都为负数时，三次多项式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$的三个零点才都是正数。

因此，给定语句是错误的。

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更新于：2022年10月10日

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