下列说法是“正确”还是“错误”？请说明理由。
如果三次多项式的所有零点都是负数，则该多项式的所有系数和常数项都具有相同的符号。

已知

如果三次多项式的所有零点都是负数，则该多项式的所有系数和常数项都具有相同的符号。

要做的事情

我们必须确定给定语句是正确还是错误。

解答

设$p(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$是一个三次多项式，$\alpha, \beta, \gamma$是$p(x)$的根。

这意味着：

根的和 = $\alpha+\beta+\gamma=-a$

负数的和是负数。

这意味着：

$a$是正数。
根的两两乘积 = $\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma+\gamma \cdot \beta=b$

两个负数的乘积是正数，正数的和是正数。
这意味着：

$b$是正数
根的乘积 = $\alpha \beta \gamma=-c$

三个负数的乘积是负数
这意味着：

$c$是正数。
因此，所有三个系数的符号都是正数。
因此，给定语句是正确的。

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更新于：2022年10月10日

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