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法律学下列语句是“正确”还是“错误”？请说明你的理由。
如果一个二次多项式\( a x^{2}+b x+c \)的两个零点都是正数，那么\( a, b \)和\( c \)都具有相同的符号。
待办事项
我们需要确定给定语句是真还是假。
解答
(i) 令$\alpha$和$\beta$为二次多项式\( a x^{2}+b x+c \)的两个零点。
如果一个二次多项式\( a x^{2}+b x+c \)的两个零点都是正数，则
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$
$\alpha \beta=\frac{c}{a}$
这意味着，
$c>0, a>0$ 且 $b<0$ 或 $c<0, a<0$ 且 $b>0$
它们并不都具有相同的符号。
因此，给定语句是错误的。
(ii) 我们知道，
一个二次多项式可能恰好在一个点与X轴相切，或恰好在两个点与X轴相交，或不与X轴相交。
因此，
如果一个多项式的图像只在一个点与\( X \)轴相交，那么它不可能是二次多项式。
因此，给定语句是正确的。
(iii) 我们知道，
如果一个多项式的图像恰好在两个点与X轴相交，那么它可能是也可能不是二次多项式。
度数大于2的多项式也可能在恰好两个点与X轴相交，当它有两个实根和其它虚根时。
因此，给定语句是正确的。
(iv) 令$\alpha, \beta$和$\gamma$为三次多项式p(x)的三个零点。
已知其中两个零点为零。
令$\alpha=\beta=0$且$\gamma=a$
因此，
$p(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
$=(x-0)(x-0)(x-a)$
$=x^{3}-a x^{2}$，它没有一次项和常数项。
因此，给定语句是正确的。
(v) 令$p(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$为一个三次多项式，并且 $\alpha, \beta, \gamma$为$p(x)$的根。
这意味着，
根的和$=\alpha+\beta+\gamma=-a$
负数的和为负数。
这意味着，
$a$为正数。
两两相乘的根的和$=\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma+\gamma \cdot \beta=b$
两个负数的积为正数，正数的和为正数。
这意味着，
$b$为正数
根的积$=\alpha \beta \gamma=-c$
三个负数的积为负数
这意味着，
$c$为正数。
因此，所有三个系数的符号都为正。
因此，给定语句是正确的。
(vi) 令$\alpha, \beta$和$ \gamma$为三次多项式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$的三个零点
这意味着，
零点的积$=\alpha \beta \gamma=-\frac{\text {常数项}}{\text {x}^{3} \text {的系数}}$
$=\frac{-c}{1}$
$\alpha \beta \gamma=-c$
已知，所有三个零点都是正数。
这意味着，
所有三个零点的积也是正数。
$\alpha \beta \gamma>0$
$-c>0$
$c<0$
零点的和$=\alpha+\beta+\gamma=-\frac{\text {x}^{2} \text {的系数}}{\text {x}^{3} \text {的系数}}$
$=\frac{-a}{1}$
$=-a$
但$\alpha, \beta$和$\gamma$都是正数。
这意味着，它们的和也是正数。
$\alpha+\beta+\gamma>0$
$-a>0$
$a<0$
两两相乘的根的和$=\frac{\text {x的系数}}{\text {x}^{3} \text {的系数}}$
$=\frac{-b}{1}$
$= -b$
因此，三次多项式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$只有当所有常数$a, b$和$c$都是负数时，它的三个零点才是正数。
因此，给定语句是错误的。
(vii) 令$f(x) = kx^2 + x + k$
对于相等根，$f(x)$的判别式应为零。
$D = b^2 - 4ac = 0$
因此，
$D=1^2-4(k)(k) = 0$
$1=4k^2$
$k^2=\frac{1}{4}$
$k =\sqrt{\frac{1}{4}}$
$k=\pm \frac{1}{2}$
因此，对于两个$k$值，给定的二次多项式具有相等的零点。
因此，给定语句是错误的。
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