下列语句是“正确”还是“错误”？请说明你的理由。
如果一个二次多项式$a x^{2}+b x+c$的两个零点都是正数，那么$a, b$和$c$都具有相同的符号。

待办事项

我们需要确定给定语句是真还是假。

解答

(i) 令$\alpha$和$\beta$为二次多项式$a x^{2}+b x+c$的两个零点。

如果一个二次多项式$a x^{2}+b x+c$的两个零点都是正数，则

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$

$\alpha \beta=\frac{c}{a}$

这意味着，

$c>0, a>0$ 且 $b<0$ 或 $c<0, a<0$ 且 $b>0$

它们并不都具有相同的符号。

因此，给定语句是错误的。

(ii) 我们知道，

一个二次多项式可能恰好在一个点与X轴相切，或恰好在两个点与X轴相交，或不与X轴相交。

因此，

如果一个多项式的图像只在一个点与$X$轴相交，那么它不可能是二次多项式。

因此，给定语句是正确的。

(iii) 我们知道，

如果一个多项式的图像恰好在两个点与X轴相交，那么它可能是也可能不是二次多项式。

度数大于2的多项式也可能在恰好两个点与X轴相交，当它有两个实根和其它虚根时。

因此，给定语句是正确的。

(iv) 令$\alpha, \beta$和$\gamma$为三次多项式p(x)的三个零点。

已知其中两个零点为零。

令$\alpha=\beta=0$且$\gamma=a$

因此，

$p(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

$=(x-0)(x-0)(x-a)$

$=x^{3}-a x^{2}$，它没有一次项和常数项。

因此，给定语句是正确的。

(v) 令$p(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$为一个三次多项式，并且  $\alpha, \beta, \gamma$为$p(x)$的根。

这意味着，

根的和$=\alpha+\beta+\gamma=-a$

负数的和为负数。

这意味着，

$a$为正数。
两两相乘的根的和$=\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma+\gamma \cdot \beta=b$

两个负数的积为正数，正数的和为正数。
这意味着，

$b$为正数
根的积$=\alpha \beta \gamma=-c$

三个负数的积为负数
这意味着，

$c$为正数。
因此，所有三个系数的符号都为正。
因此，给定语句是正确的。

(vi) 令$\alpha, \beta$和$\gamma$为三次多项式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$的三个零点

这意味着，

零点的积$=\alpha \beta \gamma=-\frac{\text {常数项}}{\text {x}^{3} \text {的系数}}$

$=\frac{-c}{1}$

$\alpha \beta \gamma=-c$

已知，所有三个零点都是正数。

这意味着，

所有三个零点的积也是正数。

$\alpha \beta \gamma>0$

$-c>0$

$c<0$

零点的和$=\alpha+\beta+\gamma=-\frac{\text {x}^{2} \text {的系数}}{\text {x}^{3} \text {的系数}}$

$=\frac{-a}{1}$

$=-a$

但$\alpha, \beta$和$\gamma$都是正数。
这意味着，它们的和也是正数。
$\alpha+\beta+\gamma>0$

$-a>0$

$a<0$

两两相乘的根的和$=\frac{\text {x的系数}}{\text {x}^{3} \text {的系数}}$

$=\frac{-b}{1}$

$= -b$
因此，三次多项式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$只有当所有常数$a, b$和$c$都是负数时，它的三个零点才是正数。

因此，给定语句是错误的。

(vii) 令$f(x) = kx^2 + x + k$

对于相等根，$f(x)$的判别式应为零。

$D = b^2 - 4ac = 0$

因此，

$D=1^2-4(k)(k) = 0$

$1=4k^2$

$k^2=\frac{1}{4}$

$k =\sqrt{\frac{1}{4}}$

$k=\pm \frac{1}{2}$

因此，对于两个$k$值，给定的二次多项式具有相等的零点。

因此，给定语句是错误的。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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