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法学判断下列语句是真还是假。请说明你的理由。
点\( A(-6,10), B(-4,6) \)和\( C(3,-8) \)共线，且\( AB=\frac{2}{9} AC \).
已知
点\( A(-6,10), B(-4,6) \)和\( C(3,-8) \)共线，且\( AB=\frac{2}{9} AC \).
要求
我们必须判断给定语句是真还是假。
解答
我们知道：
如果由点$(x_1,y_1), (x_2, y_2)$和$(x_3, y_3)$构成的三角形的面积为零，则这些点共线。
我们知道：
三角形面积$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
这里：
$x_{1}=-6, x_{2}=-4, x_{3}=3$ 且 $y_{1}=10, y_{2}=6, y_{3}=-8$
因此：
由点\( A(-6,10), B(-4,6) \)和\( C(3,-8) \)构成的三角形的面积是：
面积 $=\frac{1}{2}[-6\{6-(-8)\}+(-4)(-8-10)+3(10-6)]$
$=\frac{1}{2}[-6(14)+(-4)(-18)+3(4)]$
$=\frac{1}{2}(-84+72+12)$
$=0$
这意味着：
给定的点共线。
点$A(-6,10)$和$B(-4,6)$之间的距离是：
$AB=\sqrt{(-4+6)^{2}+(6-10)^{2}}$
$=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}$
$=\sqrt{4+16}$
$=\sqrt{20}$
$=2 \sqrt{5}$
点$A(-6,10)$和$C(3,-8)$之间的距离是：
$AC=\sqrt{(3+6)^{2}+(-8-10)^{2}}$
$=\sqrt{9^{2}+(-18)^{2}}$
$=\sqrt{81+324}$
$=\sqrt{405}$
$=\sqrt{81 \times 5}$
$=9 \sqrt{5}$
$AB=\frac{2}{9} AC$
因此，给定语句为真。
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