判断下列语句的真假，并说明理由
$\cos \theta=\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}$，其中$a$和$b$是两个不同的数，且$ab>0$.

已知

$\cos \theta=\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}$，其中$a$和$b$是两个不同的数，且$ab>0$.

要求

我们需要判断给定语句的真假。

解答

$a$和$b$是两个不同的数，且$ab>0$.

这意味着：

算术平均数 > 几何平均数

两个数$a$和$b$的算术平均数和几何平均数分别为$\frac{a+b}{2}$和$\sqrt{ab}$

因此：

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}>\sqrt{a^{2} \times b^{2}}$

$a^{2}+b^{2}>2ab$

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}>1$

$\cos \theta=\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$

$\cos \theta>1$，这是不可能的。 [-1 ≤ cos θ ≤ 1]

因此：

$\cos \theta \ne \frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$.

教程点

更新于：2022年10月10日

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